Pregunta 1: vamos a $K$ ser la inf de todas las constantes de Lipschitz. Para cada $\epsilon>0$, $K\leq L<K+\epsilon$ $L$ constante de Lipschitz. Así
$$
\|f(x)-f(y)\|\leq L\|x-y\|\leq (K+\epsilon)\|x-y\|\qquad \forall x,y\U,\quad \forall \epsilon>0.
$$
Lettting $\epsilon$ tienden a $0$ muestra que $K$ es de por sí una constante de Lipschitz, por lo que es un min. En otros términos, el conjunto de todas las constantes de Lipschitz es de la forma $[K,+\infty)$. Por supuesto, podríamos haber observado desde el principio que tenía que ser $(K,+\infty)$ o $[K,+\infty)$ desde $M$ es una constante de Lipschitz para cada $M\geq L$ si $L$ es una constante de Lipschitz.
Pregunta 2.1: revisión $x\in U$, y tomará las $h$ en el ambiente normativa espacio que contiene a $U$ (supongo que es $\mathbb{R}^n$, en tu caso, pero todo funciona de la misma en el caso general). A continuación, para $t\in\mathbb{R}$ lo suficientemente cerca como para $0$, $x+th$ pertenece a $U$ y
$$\|f(x+th)-f(x)\|\leq K\|x+th-x\|=K|t|\|h\|\quad\Rightarrow\quad \frac{\|f(x+th)-f(x)\|}{|t|}\leq K\|h\|.$$
Dejando $t$ tienden a $0$ rendimientos
$$
\|Df_x(h)\|\leq K\|h\|\quad \forall h\quad\Rightarrow \quad \|Df_x\|\leq K \quad \forall x\U,\quad\Rightarrow\quad \|Df\|_{\infty,U}\leq K.
$$
Pregunta 2.2: ahora suponga $U$ es convexa. Y establecer $L:=\|Df\|_{\infty,U}$. Fix $x,y\in U$ y tenga en cuenta que el segmento de $[x,y]:=\{x_t=(1-t)x+ty\,;\, t\in[0,1]\}$ está contenido en $U$ por supuesto. Vamos a mostrar que el $\|f(x)-f(y)\|\leq L\|x-y\|$, lo que probaría que $L$ es una constante de Lipschitz, de donde $K\leq L$ y, finalmente, $K=\|Df\|_{\infty,U}$ en este caso.
Recordemos que denotamos $x_t=(1-t)x+ty$. Fix $\epsilon>0$ y considerar
$$
I_\epsilon:=\{t\en[0,1]\,;\,\|f(x)-f(x_s)\|\leq (L+\epsilon)\|x-x_s\|\;\forall 0\leq s\leq t\}.
$$
Esto es claramente un intervalo cerrado de la forma$[0,t_0]$$[0,1]$. Vamos a mostrar que el $t_0=1$. Desde $f$ es diferenciable en a $x_{t_0}$ $\|Df_{x_{t_0}}\|\leq L$ existe $\delta>0$ tal que
$$
\|f(y)-f(x_{t_0})\|\leq \|Df_{x_{t_0}}(y-x_{t_0})\|+\epsilon \|y-x_{t_0}\|\leq (L+\epsilon)\|y-x_{t_0}\|\quad\forall \|y-x_{t_0}\|<\delta.
$$
De ello se sigue que
$$
\|f(x)-f(x_s)\|\leq \|f(x)-f(x_{t_0})\|+\|f(x_{t_0})-f(x_s)\|\leq (L+\epsilon)(\|x-x_{t_0}\|+\|x_{t_0}-x_s\|)
$$
$$
=(L+\epsilon)(\|t_0(y-x)\|+\|(s-t_0)(y-x)\|)=(L+\epsilon)s\|y-x\|=(L+\epsilon)\|x-x_s\|
$$
para todos los $t_0\leq s\leq t_0+\frac{\delta}{\|y-x\|}$. Esto significa que $t_0$ no puede ser el sup de $I_\epsilon$, a menos que $t_0=1$. En particular
$$
\|f(x)-f(x_1)\|\leq (L+\epsilon)\|x-x_1\| \quad \mbox{es decir,}\quad \|f(x)-f(y)\|\leq (L+\epsilon)\|x-y\| .
$$
Sólo queda dejar que $\epsilon$ tienden a $0$ a deducir que $L$ es de hecho una constante de Lipschitz como se desee.
Comentario: lo que hace el argumento de largo en 2.2 es que no hay ningún valor medio teorema para funciones con la gama en un espacio de dimensión mayor que uno. Como hemos visto, todavía tenemos un "media teorema de la desigualdad", aunque, cuando el dominio es convexa. Pero la 2.2 es mucho más fácil si $Df$ se supone que ser continua. En este caso, basta con escribir
$$
f(y)-f(x)=\int_0^1Df_{x_t}(y-x)dt \Rightarrow \|f(y)-f(x)\|\leq \int_0^1\|Df_{x_t}(y-x)\|dt\leq \|Df\|_{\infty,U}\|y-x\|.
$$
