Que $M$ sea un múltiple liso orientado arbitraria de dimensión $m$. ¿Siempre es diffeomorphic a una sumbanifold ${\mathbb R}^n$ (con algunos $n$) se define como un conjunto de $X$ de ceros comunes de $n-m$liso funciones $f1,...,f{n-m}$ (definida en un conjunto abierto $U\subseteq {\mathbb R}^n$ y tener diferenciales linealmente independientes en cada punto de $x\in X$: $df1(x)\wedge...\wedge df{n-m}(x ) \ne 0$)?
Respuesta
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Si usted tuvo como funciones, entonces la tangente paquete de colector sería estable trivial, que no es siempre el caso. La menor dimensión donde hay un countexample es de 4. Por lo tanto, $\mathbb{CP}^2$ hecho puede ser incrustado en el espacio Euclidiano, como cualquier compacto colector, pero su tangente bundle no es estable trivial, en el sentido de que uno no puede agregar un trivial paquete a la tangente del paquete para obtener otro trivial paquete. Así se desprende del carácter de clase de teoría, véase, por ejemplo, el texto clásico de Milnor, Stasheff, Característico de las clases.
No estoy seguro de qué nivel de texto que se está estudiando, así que me gustaría agregar que el vector gradiente de campos de sus funciones $f_i$ daría una trivialización de la normal de paquete de la submanifold, y el espacio ambiente $\mathbb{R}^n$ da una trivialización de la suma de la tangente del paquete y el paquete normal.
Ver por ejemplo este post para una discusión de las clases de chern de complejo de espacios proyectivos.
