Anillo de enteros algebraicos como puntos de la red en el plano complejo

Question

Déjalo, $i=\sqrt{-1}$ y $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ .

Sé que podemos representar el anillo de enteros $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}[\omega]$ como celosía cuadrada y triangular en el plano complejo, respectivamente.

Motivado por este y este pregunta que deseo saber:

1. ¿Existe una forma de trazar estos diagramas de red para todos y cada uno de los anillos de enteros algebraicos? Si es así, ¿cómo?
2. ¿Hay alguna forma de determinar la forma de las unidades de celosía (rectangulares, triangulares,...) sin necesidad de trazarlas?

Por "cómo" estoy pidiendo un ejemplo de código para un software (preferiblemente de código abierto) que se puede utilizar para trazar todas esas redes.

Answer 1

Alguien más va a entregar una respuesta más completa a su debido tiempo, pero por ahora, me gustaría responder a sus preguntas limitado al imaginario cuadrática entero de los anillos. Es decir, si $d$ es negativo, squarefree entero, estamos buscando a los enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, de los cuales podemos anotar como $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$, e $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ si $d \not\equiv 1 \pmod 4$ (recordar que $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}$; algunas personas, como para definir $\theta = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{d}}{2}$ y, a continuación, utilizar la $\mathbb{Z}[\theta]$ notation).

Y de verdad que la congruencia es lo que determina si el enrejado es rectangular o triangular. Si $d \not\equiv 1 \pmod 4$, entonces sólo los números de la forma$a + b \sqrt{d}$,$a, b \in \mathbb{Z}$, en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, y por lo tanto la celosía será rectangular. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, vemos que 1 se alinea verticalmente con $1 + \sqrt{-2}$ y $1 - \sqrt{-2}$, $1 + 2 \sqrt{-2}$ y $1 - 2 \sqrt{-2}$, etc. Y se alinea horizontalmente con todos los puramente real enteros de este dominio.

Ahora echemos un vistazo a $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-7})}$. Desde $-7 \equiv 1 \pmod 4$ (recordar que $-7 = -2 \times 4 + 1$), el dominio incluye el llamado half-enteros, tales como $$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}, -\frac{3}{2} + \frac{9 \sqrt{-7}}{2}, \frac{13}{2} - \frac{11 \sqrt{-7}}{2}, \ldots$$ Notice that in each case, in $$\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-7}}{2},$$ both $un$ and $b$ are odd. If they're both even, we can simplify the fractions to integers.

But if one is odd and the other is even, then it's not an algebraic integer in this domain. Consider for example $$N\left(5 + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = 5^2 + 7\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 25 + \frac{7}{4},$$ which is not an integer. Furthermore, the minimal polynomial of this number is $4x^2 - 40x + 107$, which you can verify by hand calculations, or by asking Wolfram Alpha is 5 + sqrt(-7)/2 an algebraic integer? Change your WA query to is (5/2 + sqrt(-7)/2) an algebraic integer? (it seems to get confused without the parentheses, oh well) and it tells you that this number has a minimal polynomial of $x^2 - 5x + 8$.

So $$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}$$ will not line up horizontally or vertically with $2 + \sqrt{-7}$, $3 + \sqrt{-7}$, 3 or 2. But if you draw a diagonal from $2 + \sqrt{-7}$ to 3 and another from 2 to $3 + \sqrt{-7}$, where do the two diagonals meet? Therefore, if $d \equiv 1 \pmod 4$, the lattice is triangular.

The following diagram I originally made because I was interested about the primes in $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-7})}$.

If $un$ and $b$ are odd, only $|a| = |b| = 1$ gives a prime, specifically a prime with a norm of 2. For that reason, I did not bother to draw the diagonal lines, but for your benefit, I copied the $$ and $b$ both even grid, lined it up to the primes of norm 2 and reduced its opacity. (The eagle-eyed will say that $-7$ y 7 debe ser de color azul claro o de algún otro color que no sea azul oscuro, y tienen razón, pero no importa para tu pregunta).

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, pero podría ser relevante. Me registro como CW.

El anillo de enteros algebraicos $R$ de un campo de número de $K$, de grado $n$, siempre es una libre $\mathbb{Z}$-módulo de rango $n$, que es que hay elementos $\omega_1, \dots, \omega_n$, que se llama integral de la base, de tal forma que cada elemento de a $r\in R$ tiene una representación única de la forma $r=\sum_{i=1}^n a_i \omega_i$ $a_i$ enteros.

Diversos programas son capaces de calcular la integral. A continuación, imprimir una selección de los puntos relevantes no es difícil, pero a menudo se acaba de producir una zona de color como el conjunto es denso.

La manera de utilizar la estructura de la red de manera efectiva se describe en un vinculados a la respuesta.