Esbozo

Question

Recientemente se me pidió para esbozar $(x^2-2)^2+(y^2-2)^2=2$, la cual no resultó ser demasiado problemático, para establecer el rango y el dominio de la expresión da casi todo de ella.

Entonces me pregunté qué pasaría como puedo cambiar la constante en el R. H. S. te recomiendo intentar esto:

https://www.desmos.com/calculator/tlksmrpzxu

La constante en el que destacó como dando el resultado más intrigante es $4$. La gráfica se parece a esto:

Entonces me preguntaba cómo demonios podía deducir esto sólo mediante el análisis de $(x^2-2)^2+(y^2-2)^2=4$.

Uno de mis enfoques que intervienen manchado que las dos órbitas están en la forma de elipses con las ecuaciones (derivados en parte de forma experimental, en parte mediante la fórmula de la elipse) $x^2-xy\sqrt{2}+y^2=2$$x^2+xy\sqrt{2}+y^2=2$. Puedo deducir estos sólo de $(x^2-2)^2+(y^2-2)^2=4$?

Answer 1

Bien, usted puede ir hacia atrás y multiplicar $x^2 - \sqrt2xy+y^2-2$ y $x^2 + \sqrt2xy+y^2-2$ para obtener el % de producto $x^4-4x^2+y^4-4y^2 + 4$, equivalente a un $(x^4-4x^2+4) + (y^4-4y^2+4)-4$, pero no veo el camino inverso Cuando miré tu pregunta.

Answer 2

Más generalmente,

$(x^2-a)^2+(y^2-a)^2-b = (x^2-Axy+y^2-B)(x^2+Axy+y^2-B)$ iff$A^2=2, B=a, b=a^2$

Pero como @Lubin no puedo ver esto a la vez.