¿Proyecciones autoadjuntas de un álgebra C * como redes completas?

Question

En Blackadar de las Álgebras de operadores, existe la siguiente anotación después de la proposición II.3.3.1 :

Las proyecciones en una C*-álgebra no en forma de red en general

En la respuesta de esta pregunta, se dice que:

Si se restringen $\leq$ para el conjunto de la auto-adjunto proyecciones en $A$, se obtiene un entramado, que es isomorfo a la celosía de subespacios cerrados de $\mathbb{C}^2$. El supremum de $a$ $b$ en este entramado es $I$ y el infimum de $a$$b$$0$.

Hace esta declaración tiene en realidad? Y si este es el caso, podemos demostrar que es un continuo de celosía?

Recordemos que un continuo de celosía es un completo entramado $L$, en la que cada elemento de a $y$ es igual a $\bigvee \{x \in D \mid x \ll y\}$ donde $x \ll y$ ("x se aproxima y" o "x debajo de y") si para cualquier conjunto dirigido $D \subseteq P$, $y \leq \bigvee D$ implica que hay un $d \in D$ tal que $x \leq d$

EDIT: Dado Martin Argerami la respuesta, ahora estoy pensando si las proyecciones de un arbitrario von Neumann álgebra forma un continuo de celosía.

Answer 1

La segunda declaración es una declaración sobre el álgebra $M_2(\mathbb C)$. Este es el álgebra de von Neumann $B(\mathbb C^2)$. El conjunto de selfadjoints proyecciones en un álgebra de von Neumann forma un entramado (uno completo: la unión de las proyecciones es la proyección sobre el cierre de la unión de los intervalos; y el encuentro de las proyecciones es la proyección sobre la intersección de los rangos).

Tipo I álgebra de von Neumann (finito-dimensional, en particular) tienen un mínimo de proyecciones, de modo que el conjunto de selfadjoint proyecciones sería un continuo entramado en el sentido que usted le dé. Yo no estoy tan seguro arbitrarias de álgebras de von Neumann.

Para un general de C$^*$-álgebra (no de von Neumann), el conjunto de la auto-adjunto proyecciones no suele ser una celosía.

El conjunto de selfadjoint elementos de un álgebra de von Neumann no en forma de red (incluso en lo finito-dimensional caso, como se muestra en el ejemplo).