¿Cómo explicar la fórmula de la suma de una serie geométrica sin cálculo?

Question

¿Cómo explicar a un estudiante de secundaria la noción de una serie geométrica sin ningún tipo de cálculo (es decir, límites)? Por ejemplo, quiero convencer a mi estudiante de que $$1 + \frac {1}{4} + \frac {1}{4^2} + \ldots + \frac {1}{4^n} = \frac {1 - ( \frac {1}{4})^{n+1} }{ 1 - \frac {1}{4}}$$ en $n \to \infty$ da 4/3?

Answer 1

Esto podría explicarse mediante una transformación algebraica, pero prefiero mostrar una prueba geométrica muy sencilla para la suma:

1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2

Answer 2

Creo que un niño de 14 años puede comprender el hecho de que $$\frac 12 + \frac 14 + \frac 18 + \frac 1{16} + \cdots = 1$$ de forma bastante intuitiva. (Ir a la mitad de la distancia, luego a la mitad de la distancia restante, luego a la mitad de nuevo, y así sucesivamente y se obtiene arbitrariamente cerca....)

Si estás dispuesto a hacer un poco de álgebra (y agitar las manos sobre el reordenamiento) obtienes $$2 \left( \frac 14 + \frac 1{16} + \cdots \right) + \left( \frac 14 + \frac 1{16} + \cdots \right) = 1$$ para que $$\frac 1{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac 13.$$

Ahora añade 1.

Answer 3

La igualdad equivale a

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4^k}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{n+1}}}{1-\frac{1}{4}}$$

Ahora multiplica ambos lados por $(1-\frac{1}{4})$ y todo se cancelará en el LHS excepto el primer y el último término que sí son $\frac{1}{4}$ et $-\frac{1}{4^{n+1}}$

Answer 4

Dada una serie $$S_n=1+x+x^2+\cdots+x^n$$ tenemos $$xS_n=S_{n+1}-1=S_n+x^{n+1}-1$$ Así que $$S_n(x-1)=x^{n+1}-1$$ o $$S_n={x^{n+1}-1\over x-1}={1-x^{n+1}\over 1-x}$$ que es el resultado deseado.

Para la serie infinita, sin usar límites vemos que si $$S=1+x+x^2+\cdots$$ entonces $$xS=S-1$$ (esto es esencialmente el límite, pero es fácil de ver sin el cálculo formal) y luego $$S(x-1)=-1$$ y así $$S=\frac 1{1-x}.$$

Answer 5

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}$$ así que $$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}$$ Ahora pida a su hijo de 14 años que introduzca esta expresión para $1\over 3$ en sí mismo , bastante divertido, desconcertante y extraño a primera vista: $$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\right)= \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}\frac{1}{3}$$ Repítelo dos o tres veces, y luego discute la diferencia $$\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\dots+\frac{1}{4^n}\right)$$

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Por ejemplo, quiero convencer a mi alumno de que

esto es imposible sin hablar de la noción de límite. ¿Cómo convencer a un estudiante de que $1,{1\over 2},{1 \over 3},\dots$ ¿se va a cero? ¿Qué hace va a ¿Incluso significa? En esta situación $$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\dots=\frac{4}{3}$$ No puedes convencer a alguien que esto es cierto sin definir el significado de estos pequeños puntos en el lado izquierdo.