Estoy probando sin mucha suerte para llegar a un ejemplo de una función $\phi:\mathbf{C}\to\mathbf{C}$ tal que $\phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y),\forall x,y\in\mathbf{C}$ y aún tenemos algunos $a,\alpha\in\mathbf{C}$ $\phi(a\alpha)\neq a\phi(\alpha)$.
¿Cualquier consejos sobre cómo conseguir comenzado?
Como pistas, una cosa estándar para tratar en las ecuaciones funcionales para conectar en niza valores. Por ejemplo, $\phi(0)=\phi(0+0)=\phi(0)+\phi(0)$, por lo tanto $\phi(0)=0$. Pasos similares que le permiten a la conclusión de $\phi\left(\frac{m}{n}x\right)=\frac{m}{n}\phi(x)$ para cualquier enteros $m$ $n$ y complejas $x$. En otras palabras, su función es de al menos lineal sobre los racionales.
Tales funciones realmente existen, pero son realmente horrible. Que existen sobre los reales. Parte del problema en encontrar un ejemplo es que en los racionales cualquier aditivo función también es lineal. Una implicación de esto es que cualquier continua aditivo función también es lineal.
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