Partición de los números reales en subconjuntos densos de medida positiva

Question

¿Existe una partición de los números reales (con topología estándar; medida de Lebesgue) en dos conjuntos medibles $A$ y $B$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $A$ , $B$ son ambos densos en los números reales.
2. $A$ , $B$ ambos tienen una medida positiva.

Editado: como señaló Henry, en realidad estoy buscando A B tal que para cualquier intervalo abierto I, la intersección de I y A, la intersección de B e I ambos tienen medida positiva. Perdón por la confusión.

Answer 1

A=Números racionales positivos y números irracionales negativos.

B=Números racionales negativos, números irracionales positivos y 0.

Answer 2

Hay una construcción bastante famosa de tal conjunto. Ayuda a conocer los siguientes hechos:

1. si $O$ es un conjunto abierto no vacío, entonces existe un conjunto cerrado no denso $C \subset O$ con la propiedad de que $0 < m(C)$ y
2. si $C_1,\ldots,C_n$ es una colección de conjuntos densos cerrados en ninguna parte y $O$ es un conjunto abierto no vacío, entonces $O \setminus (C_1 \cup \cdots \cup C_n)$ es no vacío y abierto.

En particular, si $O$ está abierto podemos encontrar dos disyuntiva conjuntos cerrados no densos en ninguna parte $C_1,C_2 \subset O$ con la propiedad de que $0 < m(C_1)$ y $0 < m(C_2)$ : sólo hay que seleccionar $C_2 \subset O \setminus C_1$ .

Dejemos que $\{I_n\}$ sea una secuencia de intervalos abiertos que forma una base para la topología de la línea.

Paso 1: Seleccionar dos conjuntos cerrados y no densos en ninguna parte $K_1,K_2 \subset I_1$ tal que $0 < m(K_1)$ y $0 < m(K_2)$ .

Paso 2: Seleccionar dos conjuntos cerrados y no densos en ninguna parte $K_3,K_4 \subset I_2 \setminus (K_1 \cup K_2)$ tal que $0 < m(K_3)$ y $0 < m(K_4)$ .

Paso 3: Seleccionar dos conjuntos cerrados y no densos en ninguna parte $K_5,K_6 \subset I_3 \setminus (K_1 \cup K_2 \cup K_3 \cup K_4)$ tal que $0 < m(K_5)$ y $0 < m(K_6)$ .

Paso 4: Proceder inductivamente para obtener una secuencia $\{K_j\}$ de conjuntos cerrados no densos por pares con la propiedad de que $K_{2j-1},K_{2j} \subset I_j$ . Definir $$E = \bigcup_j K_{2j-1},\quad F = \bigcup_j K_{2j}.$$

Con esto termina la construcción. Si $O \subset \mathbb R$ es abierto, existe un intervalo $I_j \subset O$ para que $$ E \cap O \supset E \cap I_j \supset K_{2j-1}$$ y $$ E^c \cap O \supset F \cap O \supset F \cap I_{j} \supset K_{2j}.$$ Así, $$m(E \cap O) \ge m(K_{2j-1}) > 0 \quad \text{and} \quad m(E^c \cap O) \ge m(K_{2j}) > 0.$$

Concluimos que ambos $E$ y $E^c$ ocupan un conjunto de medida positiva en cada subconjunto abierto de la línea.