¿Existe una forma sencilla de mostrar que la derivada direccional es el producto puntual de grad (f) con el vector direccional u?

Question

Estoy leyendo una especie de prueba técnica, pero me gustaría probarlo de una manera más limpia y más corta.

Entonces, quiero mostrar

PS

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Gracias,

EDITAR: Creo que intentaré trabajar hacia atrás, utilizando la multiplicación de matrices, ya que grad (f) se puede ver como una matriz de 1x2.

Answer 1

¿Cuál es su definición de la pendiente? En muchos casos $\nabla f$ está definido para ser el vector con $\langle\nabla f, u\rangle = D_uf$. (A continuación, se muestra que este vector está bien definido, que se sigue inmediatamente de la linealidad de la $D$ con respecto al $u$.)

La definición anterior tiene la gran ventaja de ser de coordenadas independiente: va a trabajar en cualquier colector con cualquier métrica, en funcionales que actúan en espacios de funciones (cuando debidamente interpretados en términos de variaciones), etc. Pero tal vez usted está en el espacio Euclidiano y han definido $\nabla f= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \ldots\right)$. Usted puede demostrar que esto es equivalente a la definición anterior, tomando la $u$ a ser el sistema de base de vectores $e_i$ y, a continuación, aplicar la linealidad de la derivada direccional.

Answer 2

Para el punto$p$ y la dirección$u$,$$f(x_p+tu_x,y_p+tu_y,z_p+tu_z)=\phi(t)$$ is a function of $ t$ that indicates how $ f$ evolves along the straight line through $ p$ in the direction $ u $.

Luego por la regla de la cadena,

PS

Answer 3

Sugerencia: Supongamos que$f$ es diferenciable en un punto$a$. Si$h > 0$, si$u$ es unidad, y si$x := a + hu$ se encuentra en una bola abierta adecuada alrededor de$a$, entonces $$ \ frac {| f (x) - f ( a) - \ nabla f (a) (xa) |} {| hu |} = \ frac {| f (a + hu) - f (a) - \ nabla f (a) (hu) |} {h} \\ = \ big | \ frac {f (a + hu) - f (a)} {h} - \ nabla f (a) u \ big | \ a 0 $$ como$h \to 0$.