Qué cosas puedo decir sobre límites inversas con respecto a la asignación del $[0, 1]$ en $[0,1]$ de $$f(x) = \left\ {\begin{array}{ll} 2x & \mbox{if } 0 \le x \le {1\over2}\ 1 & \mbox{if } {1\over2} \le x \le 1 \end{matriz} \right.$$There parece existir un montón de cosas que hablar de límites inversos en un marco algebraico, pero me pregunto qué puedo decir sobre esto ejemplo, que parece algo fuera de Munkres topología en lugar de Lang Algebra.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $M$ ser el conjunto de todas las secuencias de $(x_1, x_2, x_3, \dots)$ de los números de $[0,1]$ con la propiedad de que $f(x_{i+1}) = x_i$$i = 1, 2, 3, \dots$. Si $x = (x_1, x_2, \dots)$ $y = (y_1, y_2, \dots)$ pertenecen a $M$, definir la distancia de $x$ $y$por $$d(x, y) = \sum_{i > 0} {{|x_i - y_i|}\over{2^i}}.$$$($en Realidad, $M$ es un cierto subconjunto de el cubo de Hilbert con la topología relativa.$)$
Vamos $$\alpha_1 = \left\{(x_1, x_2, \dots) \in M\text{ }\Bigg|\text{ }x_1 \le {1\over2}\right\}.$$If $x \in \alpha_1$, each term of $x$ is determined by $x_1$ since $f|[0, 1/2]$ is a homeomorphism so $h: \alpha_1 \a [0, 1/2]$ given by $h(x) = x_1$ is a one-to-one transformation. It is easy to see that $h$ is continuous so $\alpha_1$ is an arc $($Arc connectedness$)$. In a similar manner, $$\alpha_n = \left\{x \in M\text{ }\Bigg|\text{ }x_n \le {1\over2}\right\}$$is an arc for each positive integer $n$ and $\alpha_1 \subconjunto \alpha_2 \subconjunto \alpha_3 \dots$.
Por otra parte, si $x$ es un punto de $M$ $x \neq (1, 1, 1, \dots)$ $x$ pertenece a $\alpha_n$ algunos $n$. Deje $P = (1, 1, 1, \dots)$$R = \alpha_1 \cup \alpha_2 \cup \alpha_3 \cup\dots$. Supongamos $\epsilon > 0$. No es un entero positivo $N$ tal que $$\sum_{i \ge N} {1\over{2^i}} < \epsilon.$$Let $y$ be the point of $R$ such that $y_N = 1/2$. Then, $y_i = 1$ for $1 \le i < N$ and therefore $d(P, y) < \epsilon$. It follows that $P$ is in $\overline{R}$ and so $\overline{R} = M$. It is easy to see that $R$ is connected so $M$ está conectado.
Además, $M$ es cerrado ya que si $x$ es un punto límite de $M$ a continuación, para cada entero positivo $i$, $y^i$ fo $M$ tal que $d(x, y^i) < 1/2^i$. Entonces, si $1 \le j \le i$, $x_j = y_j^i$ y, en consecuencia, $f(x_{k+1}) = x_k$$1 \le k \le i$. De ello se desprende que $x \in M$.
Por último, se observa que el $M$ es compacto. Una manera de ver esto es que tenga en cuenta que $M$ es un subconjunto cerrado de el cubo de Hilbert y, así, es compacto. Alternativamente, un notationally horrendo argumento implicaría tomar una secuencia $x^1, x^2, x^3, \dots$ de los puntos de $M$ y conseguir una larga cuyos primeros términos convergen a un punto de $x_1$$[0, 1]$. A partir de esta larga obtener una larga cuya segunda términos convergen a un punto de $x_2$ $[0, 1]$ y el aviso por la continuidad de $f$ que $f(x_2) = x_1$. Continuar de esta forma, para cada entero positivo $n$, obtenemos una larga cuya primera $n$ términos convergen en puntos de $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ $f(x_{i+1}) = x_i$ si $1 \le i < n$. Tomando la larga de $x^1, x^2, \dots$ por la elección de la $i$th término de la $i$th larga en la construcción anteriores obtenemos una larga que converge a un punto de $M$.
Hemos visto que el conjunto de $M$ es un compacto, conectado espacio métrico $($es decir, $M$ es una *continuo*$)$. Ahora queremos mostrar que $M$ es homeomórficos a $[0, 1]$. Vamos $$h(x) = \sum_{i \ge 1} {{x_i}\over{2^i}}.$$We observe that $h$ is one-to-one since if $x \neq y$ and $n$ is the least positive integer $j$ such that $x_j \neq y_j$ and $x_n > y_n$ then $x_i > y_i$ for each $i \ge n$. Moreover, $h$ throws $M$ onto $[0, 1]$ and it is not difficult to show that $h$ is continuous $($it is simply the distance from the point to the origin in the Hilbert cube$)$. So, $h$ es un homeomorphism.
Un par de comentarios están en orden. La construcción del set $M$ pueden ser realizados con cualquier función de $[0, 1]$ a $[0, 1]$. Que $M$ es compacto puede ser visto como una consecuencia de la continuidad de la función $f$ ya que hemos utilizado nada específico acerca de la asignación original, aparte de su continuidad para obtener estas propiedades. Por supuesto, la construcción de la homeomorphism de $M$ a $[0, 1]$ fue muy específico para la elección de $f$.
