Estoy tratando de demostrar que $$A_{n,k} = \binom{n+k-2}{k-1}\frac{(2n-k-1)!}{(n-k)!}\prod_{j=0}^{n-2}\frac{(3j+1)!}{(n+j)!}$$ implica $$A_n = \sum_{k=1}^nA_{n,k}=\prod_{j=0}^{n-1}\frac{(3j+1)!}{(n+j)!}.$$ En otras palabras, quiero demostrar que $$\sum_{k=1}^n\binom{n+k-2}{k-1}\frac{(2n-k-1)!}{(n-k)!}=\frac{(3n-2)!}{(2n-1)!}.$$ Mi primer pensamiento fue que esto sería fácil, pero ahora no estoy tan seguro. Podemos escribir $\frac{(2n-k-1)!}{(n-k)!}$ como $\binom{2n-k-1}{n-1}(n-1)!$ pero no sé de qué servirá eso. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!
Respuesta
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En efecto, reescribamos $\frac{(2n-k-1)!}{(n-k)!}$ como $\binom{2n-k-1}{n-1}(n-1)!$ y dividir ambos lados por $(n-1)!$ . Ahora queremos demostrar que $$ \sum_{k=1}^n\binom{n+k-2}{k-1}\binom{2n-k-1}{n-1}=\binom{3n-2}{2n-1} $$ o, de forma equivalente, que $$ \sum_{s=0}^{n-1}\binom{n-1+s}{n-1}\binom{2n-2-s}{n-1}=\binom{3n-2}{2n-1} $$ - que no es más que una identidad (Chu-)Vandermonde ( $\sum\binom{a+s}c\binom{b-s}d=\binom{a+b+1}{c+d+1}$ - véase, por ejemplo, la identidad (5.26) en "Matemáticas concretas").
