¿Alguna variedad de 2$m$ - dimensional es casi compleja?

Question

En Nakahara del libro "la Geometría, la Topología y Física" (Ch. 8, acerca de la casi compleja estructura) escribe:

Tenga en cuenta que cualquier 2$m$-dimensiones del colector localmente admite un campo tensorial $J$ [tipo (1,1)], que las plazas a $-id_{2m}$ [en $T_pM$].

Ahora, en vista de la definición de casi el complejo colector (algunas páginas a continuación en el libro):

$M$ se llama una.c.m. si existe un $(1,1)$-tipo de campo tensorial $J$ (llamado casi de estructura compleja en la que $J_p^2 = -id_{T_pM}$ en cada punto de $p \in M$

a mí me parece que la primera citada frase dice algo así como "cada 2$m$-dimensiones del colector es casi complejos". Pero, esto no puede ser cierto, ya que la $S^4$ es el contraejemplo.

Donde estoy equivocado?

Answer 1

Para ampliar un poco Grigory comentario:

En la geometría y la topología a menudo se tratan con cosas que se pueden definir a nivel local y no global. Algunos ejemplos que ya puede ser más familiar para usted

1. No-desaparición de campos vectoriales. Deje $M$ ser cualquier liso $n$-colector y deje $U$ ser un gráfico de coordenadas. Desde $U\subset \mathbb{R}^n$ es un subconjunto abierto, $\partial_{x^1}$ es un no-desaparición de campo de vectores en $U$. Pero no siempre podemos encontrar un mundial no desapareciendo campo de vectores en $M$.

2. Orientación. Deje $M$ ser cualquier liso $n$-colector y deje $U$ ser un gráfico de coordenadas. Desde $U\subset\mathbb{R}^n$ es un subconjunto abierto, es orientable. Pero $M$ no puede ser orientable.

3. Funciones analíticas. Deje $M$ ser cualquier compacto de superficie de Riemann. Localmente existen muchos complejos de funciones analíticas. A nivel mundial hay ninguno.