Anillo del semisimple y ejercicio módulos finitamente generados

Question

Problema

Deje $R$ ser un anillo semisimple (es decir, $R$ es semisimple como a la izquierda $R$-módulo). Mostrar que si $M,N$ $P$ son finitely generadas $R$-módulos que $M \oplus P \cong N \oplus P$,$M \cong N$.

Yo no podía hacer mucho. Si $R$ es semisimple, entonces puedo utilizar la siguiente propiedad:

Un anillo de $R$ es semisimple (de nuevo, lo que significa que $_RR$ semisimple) si y sólo si todos los $R$-módulo es semisimple.

Con esta propiedad, tenemos que $M,N$ $P$ son semisimple entonces

$$M=M_1 \oplus ... \oplus M_m\quad \text{ with } M_j \text{ simple submodules of } M,\quad \\ N=N_1 \oplus ... \oplus N_n\quad\text{ with } N_j \text{ simple submodules of } N,\text{ and }\\ P=P_1 \oplus ... \oplus P_r\quad\ \ \text{ with }P_j \text{ simple submodules of } P.\quad\ \ \ \ \ $$ So we get $$M_1 \oplus ... \oplus M_m \oplus P_1 \oplus ... \oplus P_r\cong N_1 \oplus ... \oplus N_n\oplus P_1 \oplus ... \oplus P_r$$

Debo usar que todos estos módulos son finitely generado. Realmente agradecería sugerencias sobre cómo podría continuar a partir de aquí.

Answer 1

¡Usted está haciendo bien hasta ahora! Lo siguiente que tienes que hacer es contar cómo a menudo un tipo fijo del isomorfismo de representaciones irreducibles se produce en ambos lados. Para esto, utilice lo siguiente: Si $M=M_1\oplus ...\oplus M_n$ a la descomposición de un semi-simple, finitamente generados $R$-módulo $M$ como una suma de irreducible $R$-módulos y si $I$ es cualquier irreductible $R$-módulo, el número de sumandos marcas de verificación $M_i$ que son isomorfos a $I$ dado por la dimensión de la $\text{Hom}_R(I,M)$ sobre la división anillo $\text{Hom}_R(I,I)$.

Answer 2

Desde donde se detuvo a: aplicar los Krull-Schmidt teorema de emparejar los módulos en ambos lados.

Sin pérdida de generalidad se puede organizar la $P_i$'s para ser emparejado con sus homólogos. Como resultado, los módulos otro que el P se emparejaron. Esto muestra que las partes fuera de $P$ son parejas isomorfo, y de modo directo sumas son isomorfos.

Debo usar que todos estos módulos son finitely generado.

Usted ya hizo. Usted necesita esto para escribir todas tres como finito directa sumas de módulos sencillos. Que sería infinitamente generado iff habían de longitud infinita.