Si $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ entonces $\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}=\frac{1}{a^5+b^5+c^5}.$

Question

Supongamos que $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ . Entonces, demuestre que $\displaystyle\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5}=\frac{1}{a^5+b^5+c^5}.$

Intento :

A partir de la relación dada , $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=-2$ .........(1)

Ahora quiero calcular , $\displaystyle \frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{a^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{b^5}+\frac{a^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}$ . Intenté expandiendo el par de términos y poniendo el valor de (1), pero no puede ayudar...

Answer 1

Una pista:

$$ (ab + bc + ca)(a + b + c) = (a + b)(b + c)(c + a) + abc.$$

Answer 2

Dado $$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}\Rightarrow \frac{(ab+bc+ca)}{abc} = \frac{1}{a+b+c}$$

Así que $$\displaystyle (ab+bc+ca)(a+b+c) = abc\Rightarrow a^2b+a^2c+ab^2+b^2c^2+c^2a+3abc=abc$$

por lo que obtenemos $(a+b)(b+c)(c+a) = 0\Rightarrow (a+b) = 0$ o $(b+c) =0$ o $(c+a) =0$

Así que $a=-b$ o $b=-c$ o $c=-a$

Así que $a=c$ o $b=-c$

Así que $$\displaystyle \frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5} = \frac{1}{c^5}$$ y $$\displaystyle \frac{1}{a^5+b^5+c^5} = \frac{1}{c^5}$$

Así que $$\displaystyle \frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5} = \frac{1}{a^5+b^5+c^5}$$