El límite de la materia-vacío en Relatividad General

Question

Una anterior de la Pila de la pregunta (antes de que me uní a) preguntando acerca de la continuidad en GR recibido respuestas que sugiere que la Curvatura sería discontinua en decir un límite planetaria (no asumen la atmósfera por simplicidad). Voy a analizar algunos conceptos básicos de esta y, a continuación, volver a esa pregunta.

Es cierto que el Estrés de la Energía Tensor $T{_a}{_b}=0$ fuera del cuerpo y que es distinto de cero en el interior, resultando en una discontinuidad en la superficie. Esto implicaría que el Tensor de Ricci $R{_a}{_b}$ también es discontinuo en el límite, y cero en el vacío de la parte como se esperaba a partir de las ecuaciones de Einstein. Sin embargo, la Curvatura de Riemann Tensor $R{_a}{_b}{_c}{_d}$ (lo que genera la física medible aceleraciones) ha contribuciones de la Curvatura de Weyl Tensor $C{_a}{_b}{_c}{_d}$. De hecho, el Tensor de Ricci "manos" para el Tensor de Weyl en el límite: por tanto, el Tensor de Riemann estancias cero no existe. Sin embargo, esta "entregar" no implica continuidad, a menos que exista alguna GR Teorema que dice que el Tensor de Riemann estancias continua en esta región.

También en la de Newton aproximación análoga papel es interpretado por el potencial gravitacional $\phi$ en la ecuación de Poisson $\nabla^2 \phi = 4 \pi G\rho$. Es evidente que esto muestra una discontinuidad, como también la densidad de $\rho$ de repente cae en la frontera. Sin embargo, la discontinuidad es en la segunda derivada de la potencial: el potencial en sí es continua. Esto significa que en la salida de un planetario cueva o mina no se de repente lograr un cambio en el potencial Gravitacional.

Sin embargo, yo no conozco a ningún teorema de la GR que garantiza la continuidad. La aplicable en el gran escenario podría ser la superficie de una estrella de neutrones; puede ser en-la-pequeña partícula de los modelos.

Answer 1

Roy, su ilusión es manifiestamente imposible. Si el tensor de la $T_{\mu\nu}$ es discontinuo, y seguramente lo es en la superficie de un sólido, entonces las ecuaciones de Einstein garantía de que el tensor de Einstein $G_{ab}$ es discontinuo, así como a una normalización, es el mismo tensor. De ello se desprende que el tensor de Ricci y el tensor de Riemann, $R_{\mu\nu}$$R_{\kappa\lambda\mu\nu}$, también debe ser discontinua debido a que el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$ puede ser fácilmente calculada, tanto desde el tensor de Ricci así como del tensor de Riemann, por lo que si la Ricci o tensor de Riemann fueron continuas, el tensor de Einstein tendría que ser continua, lo cual es una contradicción evidente.

Sólo me demostraron lo contrario teorema de que el tensor de Riemann es discontinuo.

Usted debe darse cuenta de que el tensor de Riemann tiene un mayor número de componentes de la Ricci (o Einstein) tensor, por lo que su continuidad - que significa la continuidad de todos sus componentes - es aún más la condición de la continuidad de la Ricci (o Einstein) tensor. El argumento anterior demuestra que ninguno de estos tensores es continuo en la presencia de sólidos, es por ello que no puede haber ningún teorema diciendo lo contrario (sería incorrecto). Otra cuestión es si el tensor de Weyl es continua cerca de tales límites. No sé la respuesta. La respuesta podría ser fácilmente calculada a partir de la fórmula para el tensor de Weyl.

Answer 2

La pregunta que toca el teorema de Birkhoff. Una distribución esférica de la materia tiene un campo de gravedad totalmente equivalente a la de un agujero negro de la misma masa. De modo que si vamos a ignorar el asunto en una estrella de la configuración interior del espacio-tiempo debe comportarse como si se tratara de una métrica de Schwarzschild (o Reissnor-Norstrom, Kerr, etc). Supongamos que tenemos una métrica de con $g_{tt}~=~F(r)$$g_{rr}~=~1/g_{tt}$, y dentro de la superficie no es la $T^{ab}$ para el material en el interior del cuerpo. La identidad de Bianchi ${T^{ab}}_{;b}~=~0$ da $$ p_ {r}~+~(m~+~p)\Big(\frac{F_ {rr}}{F_{,r}}~-~\frac{2F_{,r}}{F}\Big)~=~0 $$ donde ahora uno de los partidos de la condición en el vacío métrica con esta condición. De allí la métrica $F(r)$ dentro del cuerpo puede ser calculada.

Answer 3

Si hay una discontinuidad en el tensor de Ricci en el límite, esto se vería como una delta de Dirac contribución a la derivada covariante del tensor de Ricci allí.

Considerar la identidad de Bianchi $R_{\mu\nu\rho\sigma;\tau}+R_{\mu\nu\sigma\tau;\rho}+R_{\mu\nu\tau\rho;\sigma}=0$.

Descomponer el tensor de Riemann como la suma del tensor de Weyl más Ricci contribuciones. Después de esta descomposición, el grupo de los términos en la identidad de Bianchi en Weyl términos, y Ricci términos. Genéricamente, la Ricci términos tienen una delta de Dirac contribución. Así, con el fin de suma cero, de modo que debe de algunos términos de la derivada covariante del tensor de Weyl.

En otras palabras, nos genéricamente tiene una discontinuidad en el tensor de Weyl.