Deje que el plano V definido por $ax + by + cz + d = 0$; $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ y el % de vector $(a; b; c)$un vector de la unidad.

Question

Estoy luchando para hacer que mi mente alrededor de algunos de los conceptos que involucran vectores en $3$-espacio. Esta pregunta me pregunta si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas:

(A) La línea de $(a; b; c)$ es paralelo a $V$

(B) La distancia del avión desde el origen es $|d|$

Para (A) no creo que tenga lo suficiente para trabajar con este. Sé que si una recta es paralela a un plano, entonces la dirección del vector debe ser perpendicular a los planos vector normal... sinceramente, no sé cómo hacer para que lo pruebe, y quizás yo soy más de pensar en esto.

Para (B) he dicho que esto es falso, como la distancia entre el plano desde el origen no es $|d|$ y está dado por la fórmula:

$$d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{|A^2+B^2+C^2|}$$

Realmente agradecería cualquier aporte en esta.

Gracias!

Answer 1

Para la parte (a) su razonamiento es correcto. Una línea con la dirección del vector $\mathbf{v}$ es paralela a un plano con vector normal $\mathbf{n}$ si y sólo si $\mathbf{v}$ es ortogonal a $\mathbf{n}$, es decir, si y sólo si $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0$. En este caso el vector de dirección de la línea es el mismo que el vector normal del plano y por tanto no se puede paralelo, ya $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{n}\cdot\mathbf{n} = 1 \neq 0$.

Para la parte (B) puede utilizar el siguiente argumento. Deje $\mathbf{u}$ ser cualquier punto en el plano. Entonces la distancia desde el origen a $\mathbf{u}$$\|\mathbf{u}\|$. Su objetivo es encontrar el valor mínimo de $\|\mathbf{u}\|$. Por el Cauchy-Schwarz desigualdad tenemos que

$$ |d| = |\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}| \leq \|\mathbf{n}\|\cdot\|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{u}\| $$

desde $\mathbf{n}$ es un vector unitario. Por lo tanto, la distancia mínima del plano desde el origen está acotado abajo por $|d|$. El último paso es mostrar que existe un vector en el plano cuya normal es $|d|$. En este caso, un vector está dado por $-d\mathbf{n}$ desde

$$ \mathbf{n}\cdot(-d\mathbf{n}) + d = -d\mathbf{n}\cdot\mathbf{n} +d = -d +d = 0 $$

y $\|-d\mathbf{n}\| = |d|\|\mathbf{n}\| = |d|$.