Supongo que lo anterior es falso, por lo que estoy tratando de encontrar un ejemplo contrario. Lo único que encontré es que todo el espacio no debe ser compacto. Si no es así, la afirmación es cierta de la extensión de Tietze.
Cualquier ayuda será apreciada.
No, esto no se sostiene, como $\mathbb{R}$ en la topología de límite inferior $\mathcal{T}_l$, generado por todos los conjuntos de la forma $(a,b]$ (u homeomórficamente juegos $[a,b)$ si se prefiere) (a. k.a. la línea Sorgenfrey) es cero-dimensional y así totalmente desconectado. Esto implica que cualquier función continua $f : X \to \mathbb{R}$ es constante cada vez que se conecta $X$. Tan conectado espacios normales no tenemos funciones de Urysohn para separar los conjuntos cerrados.
Supongo que te refieres a la topología generada por la mitad a abrir los intervalos de $[a,b)$. Se llama el límite inferior de la topología: https://en.wikipedia.org/wiki/Lower_limit_topology
Ustedes se preguntan si la extensión de Tietze teorema aún se mantiene en un espacio de $X$ (supongo normal) si la topología en $R$ no es el estándar de la topología (como es habitual en el de extensión de Tietze teorema) sino que es el medio intervalo abierto de la topología.
Creo que el semi-abierto de extensión de Tietze de propiedad implica un semi-abierto de Urysohn lema de la propiedad en la forma habitual: http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2001&task=show_msg&msg=0263.0001
Pero R con el límite inferior de la topología es completamente desconectado. Por lo que cualquier función continua a partir de la conexión de un espacio de $X$ $R$será constante. Por lo tanto, si $X$ está conectado, una semi-abierto de Urysohn lema no puede sostener, por tanto, un semi-abierta teorema de Tietze, no puede mantener.
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