Divergencia de la iteración de punto fijo para valores de inicio reales

Question

Considere el sistema lineal de ecuaciones $Ax = b$ con invertible $A\in \mathrm{GL}(n,\mathbb R)$$b\in\mathbb R^n$. Para $A = M - N$ con invertible $M$ la solución de $x_* = A^{-1}b$ es un punto fijo de la función $$f(x) = M^{-1}Nx + M^{-1}b = Tx + c$$ con $T := M^{-1}N$$c := M^{-1}b$.

Por lo tanto, de Banach del punto fijo teorema puede ser utilizado para mostrar que la secuencia dada por $x^{(k)} = Tx^{(k-1)} + c$ converge a $x_*$ para cualquier valor inicial $x^{(0)} \in \mathbb R^n$ si y sólo si el radio espectral $\rho(T) < 1$.

Actualmente estoy tratando de demostrar que el "sólo si" parte del teorema anterior. Esto es relativamente sencillo en el caso complejo: Si $\rho(T)\ge 1$ hay un autovalor $\lambda \in \mathbb C$ $|\lambda|\ge 1$ y un correspondiente autovector $z \in \mathbb C^n$ tal que $Tz = \lambda z$. A continuación, para $x^{(0)} := z - x_*$ podemos ver que $$x^{(k)} - x_* = T^k(x^{(0)} - x_*) = T^kz = \lambda^k z$$ y, por tanto, $\|x^{(k)} - x_*\| = |\lambda|^k\|z\|$ que no converge a $0$$|\lambda|\ge1$.

Pero, ¿cómo puedo demostrar que no es un verdadero punto de partida $x^{(0)} \in \mathbb R^n$ para que la iteración no convergen? En general, no existe un verdadero vector propio correspondientes al autovalor $\lambda$ $|\lambda| \ge 1$ así que no sé qué uso como un punto de partida.

Answer 1

Si$u$ es un vector propio (complejo) para el valor propio complejo$\lambda$, escriba$u = x + i y$ donde$x$ y$y$ son reales. Ahora, si$T^n x \to 0$ y$T^n y \to 0$ como$n \to \infty$, lo mismo sería cierto de$T^n x + i T^n y = T^n u$, pero este no es el caso.

Answer 2

Tome una norma de matriz consistente: usted sabe que$\rho(T)^n \le ||T^n||$

Entonces, tomando la norma de$n$ - en la iteración, obtienes algo que es mayor que$\rho(T)^n$, que diverge como$n \to \infty$ si$\rho(T) > 1$

Answer 3

Suponga $T$ tiene un autovalor $\lambda\in\mathbb{C}$ tal que $\lambda\geq 1$ asociada con el autovector $u$. Es fácil encontrar una partida real del vector de si $\lambda$ es real o imaginario puro; para asumir el "genérico" caso con $\lambda=\mu+i\nu$, donde el real $\mu$ $\nu$ son cero. Deje $u:=x+iy$ donde $x$ $y$ son reales vectores. Desde $Tu=\lambda u$, mediante la comparación de las partes reales e imaginarias que $$ Tx=\mu x-\nu y, \quad Ty=\nu x+\mu y. $$ Si $U:=[x,y]$, por lo tanto $$ TU=U\pmatrix{\mu&\nu\\-\nu&\mu}=:UM, \quad T^nU=UM^n. $$ Se puede demostrar que con $e_1=[1,0]^T$, $\|M^ne_1\|_2=|\lambda|^n$. Desde $\|Bz\|_2\geq \sigma_{\min}(B)\|z\|_2$ donde $\sigma_{\min}$ indica el mínimo valor singular del argumento (la raíz cuadrada de el mínimo autovalor de a $B^TB$), tenemos $$ \|T^nx\|_2=\|T^nUe_1\|_2=\|UM^ne_1\|_2\geq\sigma_{\min}(U)\|M^ne_1\|_2=\sigma_{\min}(U)|\lambda|^n.$$ Hence with the initial error ($x^{(0)}-x_*$) equal (or proportional) to the real part of the eigenvector $u$la iteración diverge. También podemos elegir la parte imaginaria $y$ en lugar de eso, la prueba es similar.