Doble integral $\int\limits_0^a\int\limits_0^a\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2+a^2)^\frac32}$

Question

¿Cómo resolver esta integral?

$$\int_0^a\!\!\!\int_0^a\frac{dx\,dy}{(x^2+y^2+a^2)^\frac32}$$

mi intento

$$ \int_0^a\!\!\!\int_0^a\frac{dx \, dy}{(x^2+y^2+a^2)^\frac{3}{2}}= \int_0^a\!\!\!\int_0^a\frac{dx}{(x^2+\rho^2)^\frac{3}{2}}dy\\ \rho^2=y^2+a^2\\ x=\rho\tan\theta\\ dx=\rho\sec^2\theta \, d\theta\\ x^2+\rho^2=\rho^2\sec^2\theta\\ \int_0^a\!\!\!\int_0^{\arctan\frac{a}{\rho}}\frac{\rho\sec\theta}{\rho^3\sec^3\theta}d\theta \, dy= \int_0^a\!\!\!\frac{1}{\rho^2}\!\!\!\int_0^{\arctan\frac{a}{\rho}}\cos\theta \, d\theta \, dy=\\ \int_0^a\frac{1}{\rho^2}\sin\theta\bigg|_0^{\arctan\frac{a}{\rho}} d\theta \, dy= \int_0^a\frac{1}{\rho^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+\rho^2}}\bigg|_0^ady=\\ \int_0^a\frac{a}{(y^2+a^2)\sqrt{y^2+2a^2}}dy$$

Actualización:

$$\int_0^a\frac{a}{(y^2+a^2)\sqrt{y^2+2a^2}}dy=\frac{\pi}{6a}$$

Answer 1

Consideremos su última integral $$I=\int_0^a\frac{a}{(y^2+a^2)\sqrt{y^2+2a^2}}dy$$ Variable cambiante $y=a z$ se convierte en $$I=\frac 1 a \int_0^1 \frac{dz}{\left(z^2+1\right) \sqrt{z^2+2}}$$ Ahora, haz un cambio de variable tal que $$z=\frac{\sqrt{2} t}{\sqrt{1-t^2}}$$ (no me vino inmediatamente a la cabeza, debo confesar) $$dz=\frac{\sqrt{2}}{\left(1-t^2\right)^{3/2}}$$ y así $$\int \frac{dz}{\left(z^2+1\right) \sqrt{z^2+2}}=\int\frac{dt}{1+t^2}=\tan ^{-1}(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2}}\right)$$ Ahora, usa los límites para la integral.

Answer 2

El curso natural de acción siempre que vea $x^2 + y^2$ en un problema de integración múltiple es convertir a coordenadas polares.

Establecer $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , $0 \leq \theta <2\pi$ . Entonces $dx~dy = r~dr~d\theta$ y el integrando se convierte en $$ \frac{r}{(r^2 + a^2)^{3/2}}~dr~d\theta. $$ Esta integral no depende de $\theta$ por lo que, de hecho, cuando se integra en $r$ es una integral de una variable, y del cálculo de una variable sabemos que la sustitución $u = r^2 + a^2$ será suficiente. Lo único que queda por hacer es encontrar los límites de la integración.

La región $0 \leq x \leq a$ , $0 \leq y \leq a$ es un cuadrado de lado $a$ en el primer cuadrante del plano. Esto puede parametrizarse mediante $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ , $0 \leq r \leq \sqrt{a^2 + (a\sin\theta)^2} = a\sqrt{1 + \sin^2 \theta}$ . (Por lo tanto, la integral se convierte en $$ \int_{\theta = 0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{a\sqrt{1+\sin^2\theta}} \frac{r}{(r^2 + a^2)^{3/2}}~dr~d\theta. $$

¿Puedes seguir desde aquí?