¿Es posible dividir un triángulo isósceles?

Question

Tenemos un triángulo isósceles y lo dividimos en dos secciones que salen de una de las tres esquinas, por lo tanto obtenemos tres nuevos triángulos. ¿Es posible hacer (rompecabezas) un triángulo isósceles de cada dos de los tres triángulos que obtuvimos después de dividir el primero? (En caso de que me preguntaras qué intenté, le pedí a mi profesor una respuesta. Sí, es posible, pero aún se necesita la prueba) ¡Gracias de antemano!

Answer 1

No estoy seguro si entendí bien la pregunta, pero en general no debería ser posible (no sé cómo poner una imagen aquí, así que trataré de explicarlo lo mejor posible).

Toma un triángulo isósceles, llámalo $\Delta(A,B,C)$ donde $A, B \quad \text{y} \quad C$ son los nombres de los vértices. Ahora, comencemos con el punto C, y tracemos 2 líneas desde allí que se cruzarán con $\overline{AB}$ en algunos puntos $C_1$ y $C_2$.

Toma los triángulos correspondientes $\Delta(A,C_1,C)$, $\Delta(C_1,C_2,C)$ y $\Delta(C_2,B,C).. Ahora, si te entiendo correctamente, quieres saber si es posible "pegar" dos de estos triángulos juntos y obtener un triángulo isósceles.

En general, esto no debería ser posible, toma por ejemplo $\Delta(A,C_1,C)$ y $\Delta(C_1,C_2,C)$, sabemos que la longitud $L(\overline{CC_1})$ de $\Delta(A,C_1,C)$ es igual a $L(\overline{CC_1})$ de $\Delta(C_1,C_2,C)$ pero nada sobre las longitudes de los lados restantes. En particular, puedes (¡inténtalo en casa!) dividirlo de tal manera que $L(\overline{AC_1}) \neq L(\overline{C_1C_2})$ y $L(\overline{CA}) \neq L(\overline{CC_2}) Por lo tanto, la única forma posible de unir estos dos sería pegar en la línea $\overline{CC_1}! ¡Pero esto resulta en el triángulo $\Delta(AC_2C)$, por lo tanto, si divides $\Delta(A,B,C)$ de tal manera que $L(\overline{AC_2}) \neq L(\overline{AC}) no hay forma de lograr tu objetivo (esto siempre será el caso ya que tu triángulo era isósceles, por lo que cualquier elección no trivial de secciones dará este resultado).

Answer 2

Es posible (al menos para algunos triángulos isósceles).

Tomemos un triángulo isósceles $ABC$ con $AB = AC$ y $36^\circ < \angle BAC < 45^\circ.

• Dejemos que el bisector perpendicular de $AC$ interseque $AB$ en $D$.
• Dibujemos un círculo en $C$ a través de $D$, que intersectará $AB$ en $D$ y $E".
• Cortemos $\triangle ABC$ a lo largo de $CD$ y $CE$, obtenemos dos nuevos triángulos isósceles $\triangle ADC$ y $\triangle CDE$
  (por construcción, $AD = CD = CE$ ).