¿Es posible dividir un triángulo isósceles?

Question

Tenemos un triángulo isósceles y lo dividimos en dos secciones saliendo de una de las tres esquinas, por lo tanto obtenemos tres nuevos triángulos. ¿Es posible hacer (resolver) un triángulo isósceles a partir de dos de los tres triángulos que obtuvimos después de dividir el primero? (En caso de que me preguntes qué intenté, le rogué a mi profesor por una respuesta. Sí, es posible, pero todavía se necesita la demostración) ¡Gracias de antemano!

Answer 1

No estoy seguro de si entendí bien la pregunta, pero en general, no debería ser posible (no sé cómo hacer una imagen aquí, así que intentaré explicarlo lo mejor posible).

Toma un triángulo isósceles, llámalo $\Delta(A,B,C)$ donde $A,B \quad \text{y} \quad C$ son los nombres de los vértices. Ahora, comencemos con el punto C y tracemos 2 líneas desde allí que se intersectarán con $\overline{AB}$ en algunos puntos $C_1$ y $C_2$.

Toma los triángulos correspondientes $\Delta(A,C_1,C)$, $\Delta(C_1,C_2,C)$ y $\Delta(C_2,B,C) Ahora, si te entiendo correctamente, quieres saber si es posible "pegar" dos de estos triángulos juntos y obtener un triángulo isósceles.

En general, esto no debería ser posible, por ejemplo toma $\Delta(A,C_1,C)$ y $\Delta(C_1,C_2,C)$, sabemos que la longitud $L(\overline{CC_1})$ de $\Delta(A,C_1,C)$ es igual a $L(\overline{CC_1})$ de $\Delta(C_1,C_2,C)$ pero nada acerca de las longitudes restantes de los lados. En particular, puedes (¡inténtalo en casa!) dividirlo de tal manera que $L(\overline{AC_1}) \neq L(\overline{C_1C_2})$ y $L(\overline{CA}) \neq L(\overline{CC_2}) Por lo tanto, la única manera posible de unir estos dos sería pegar en la línea $\overline{CC_1}$! Pero esto resulta en el triángulo $\Delta(AC_2C)$, por lo tanto, si divides $\Delta(A,B,C)$ de tal manera que $L(\overline{AC_2}) \neq L(\overline{AC}) no hay manera posible de lograr tu objetivo (lo último siempre será el caso ya que tu triángulo era isósceles, por lo que cualquier elección no trivial de secciones dará este resultado).

Answer 2

Es posible (al menos para algunos triángulos isósceles).

Toma un triángulo isósceles $ABC$ con $AB = AC$ y $36^\circ < \angle BAC < 45^\circ$.

• Deja que el bisector perpendicular de $AC$ intersecte $AB$ en $D$.
• Dibuja un círculo en $C$ pasando por $D$, que intersectará $AB$ en $D$ y $E.
• Corta $\triangle ABC$ a lo largo de $CD$ y $CE$, obtenemos dos nuevos triángulos isósceles $\triangle ADC$ y $\triangle CDE$
  (por construcción, $AD = CD = CE$).