La dimensión de las funciones reales continuas como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ no es contable?

Question

Esta pregunta es por curiosidad. Primero intenté buscar esta respuesta en la web, pero me quedé perplejo cuando Google no me dio el resultado después de un par de intentos. Si alguien tiene una referencia, se lo agradecería.

Lo último que quiero saber es si $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ tiene una dimensión contablemente infinita sobre $\mathbb{R}$ . Sin embargo, tengo el presentimiento de que $C([a,b],\mathbb{R})$ no tiene una dimensión contablemente infinita.

Intenté demostrar que si $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ es una supuesta base para $C([a,b])$ entonces $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}f_n$ no está en su ámbito, pero rápidamente descubrí que no sé qué tan rápido cualquiera de estos $f_n$ aumentar.

Me gustaría una prueba constructiva si se puede dar una; sin embargo, aceptaría a regañadientes una prueba de existencia. No me importa si sientes la necesidad de añadir una métrica o topologizar el espacio de alguna manera.

Answer 1

Las funciones $f_t(x) = e^{tx}$ , $t \in \mathbf R$ son linealmente independientes sobre $\mathbf R$ . ¿Puedes probarlo?

(Sugerencia: suponga que tiene una relación de dependencia lineal mínima entre ellos, y utilice su derivada para producir una combinación que sea aún más mínima).

Observación: no necesitamos el axioma de elección para esto.

Answer 2

En efecto, $C([a,b],{\mathbb R})$ no tiene dimensión contablemente infinita: ningún espacio de Banach de dimensión infinita la tiene (por ejemplo, por el teorema de la categoría Baire).