Grupo de matrices generado por Roots of Unity

Question

La cuestión es esencialmente la siguiente: dejemos $W$ sea una primitiva $n$ -raíz de la unidad donde $n$ es un número entero impar. Sea $G$ sea el subgrupo (de $GL(n)$ ) de todas las matrices 2x2 generadas por las matrices

$$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} \ \ \text{and} \ \ \begin{bmatrix} W&0\\0&W^{-1}\end{bmatrix}.$$

Demostrar que $G$ tiene orden $4n.$

Answer 1

Un plan: Sigue multiplicando esas matrices entre sí. Observa que obtienes matrices de los siguientes tipos ( $k$ es un parámetro entero) $$ \left(\begin{array}{cc}W^k&0\\0&W^{-k}\end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cc}-W^k&0\\0&-W^{-k}\end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cc}0&-W^k\\W^{-k}&0\end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cc}0&W^k\\-W^{-k}&0\end{array}\right). $$ Demostrar que

1. Hay un total de $4n$ matrices de estos tipos.
2. Todos ellos están en el grupo generado por esas dos matrices.
3. Forman un grupo (un subgrupo de $GL_2(\Bbb{C})$ ).

Para obtener todos los créditos, responda a lo siguiente:

4. ¿Dónde has utilizado la suposición de que $n$ es impar? ¿Era necesario?

Answer 2

Probablemente conozcas el isomorfismo de grupo:

$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \ \leftrightarrow \ \ M(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}.$$

entre $SL(2,C)$ (grupo "lineal especial" de matrices con coeficientes complejos y determinante $1$ ) para la multiplicación de matrices y el llamado grupo de transformaciones de Möbius para la composición de funciones.

(ver por ejemplo este ).

En particular, tenemos:

$$\begin{bmatrix}0&-1\\1& \ \ 0\end{bmatrix} \ \leftrightarrow \ S(z)=\dfrac{0z-1}{1z+0}=-\dfrac{1}{z} \ \ \text{and} \ \ \begin{bmatrix}W&0\\0&W^{-1}\end{bmatrix} \ \leftrightarrow \ R(z)= \dfrac{Wz+0}{0z+W^{-1}}=W^2z$$

Es posible clasificar las diferentes composiciones posibles ( $R\circ R \circ S$ etc...) se puede hacer con $R$ y $S$ en dos tipos:

$$z\mapsto W^{\pm2k}z \ \ \ \ \ \text{or} \ \ \ \ \ z\mapsto - W^{\pm2k}\dfrac{1}{z}, \ \ k=0,1,...(n-1)$$

(Por una recurrencia inmediata en el número de operaciones de composición) dando como resultado $2 \times 2n = 4n$ diferentes funciones.

Se puede objetar que algunas de estas funciones podrían contarse dos veces, por el hecho de que $W^{2k}=W^{2k'}$ podría ocurrir para algunas $k$ y $k' \in [0,n-1]$ . Esto, de hecho, no es posible ya que implicaría $W^{2(k-k')}=1$ lo que ocurre si y sólo si $2(k-k')=0 \ $ modulo $\ n$ . Como $n$ es impar, implica que $k-k'=0 \ $ modulo $\ n$ .