¿Los armónicos esféricos son armónicos?

Question

Según la Wikipedia, una función armónica es aquella que satisface: $$ \nabla^2 f = 0 $$ Los armónicos esféricos (también según Wikipedia) satisfacen la relación $$ \nabla^2 Y_l^m(\theta,\phi) = -\frac{l(l+1)}{r^2} Y_l^m(\theta,\phi) $$ que es 0 sólo si $l = 0$ . Entonces, según esta definición, ¿las funciones armónicas esféricas sólo son armónicas cuando $l,m = 0$ ?

Como pregunta relacionada, si cambio las coordenadas a algún $\alpha(\theta,\phi), \beta(\theta,\phi)$ y quiero encontrar las funciones ortogonales similares a los armónicos esféricos en el nuevo $\alpha,\beta$ base, ¿cómo lo haría? ¿Tendría que resolver la ecuación de Laplace $$ \nabla^2_{\alpha,\beta} f(\alpha,\beta) = 0 $$ donde $\nabla^2_{\alpha,\beta}$ ¿es el laplaciano expresado en el nuevo sistema de coordenadas?

Answer 1

Hay más de un Laplaciano $\Delta=\nabla^2$ en juego aquí: el euclidiano ambiental, y el laplaciano invariante en la esfera. Los "armónicos esféricos" extendidos de forma natural como polinomios, son armónicos para el espacio euclidiano ambiente. Son eigenfunciones para el Laplaciano en la esfera, con valores propios (generalmente) no nulos para ese operador.

Sí, hay alguna conexión entre los dos, que se puede encontrar en muchos lugares...

Answer 2

Los armónicos esféricos son restricciones a la esfera unitaria de las funciones armónicas sobre $\mathbb R^3$ . No hay funciones armónicas no constantes en la propia esfera.