$y_i$ denota los valores observados de $y$, $\hat{y}_i$ son los valores previstos de las variables explicativas, y $\bar{y}$ es la media. Esta relación se supone sostener cuando una de las variables explicativas es la constante. Hasta ahora, he conseguido $$ \sum (\sum y_i - \bar{y})^2 - (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum (-y_i \bar{y} + 2 \hat{y}_i y_i - \hat{y}_i^2) $$ parece que si de alguna manera puedo mostrar que $\sum y_i \bar{y} = \sum y_i \hat{y}_i$ entonces la derivación sería completa. ¿Alguien me puede mostrar cómo proceder de aquí en?
Respuesta
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Respuesta un poco feo: $$\begin{align} \sum_i \left[ \left( y_i - \bar{y}\right)^2 - \left( y_i - \hat{y}_i\right)^2 - \left(\bar{y} - \hat{y}_i \right)^2 \right] &= \sum_i \left( y_i^2 - 2\bar{y}y_i + \bar{y}^2 - y_i^2 + 2y_i \hat{y}_i - \hat{y}_i^2 - \bar{y}^2 + 2\bar{y}\hat{y}_i - \hat{y}_i^2\right) \ &= \sum_i \left( - 2\bar{y}y_i + 2y_i \hat{y}_i + 2\bar{y}\hat{y}_i- 2\hat{y}_i^2 \right)\ &= -2n\bar{y}^2 + 2n\bar{y}^2 + 2\sum_i \hat{y}_i\left(y_i - \hat{y}_i \right) \ &= 2 \sum_i \hat{y}_i\left( y_i - \hat{y_i}\right) \end{align} $ que es igual a cero ya que es básicamente la condición de ortogonalidad que se utiliza para estimar el vector de $\hat{b}$ en mínimos cuadrados ordinarios.
Bosquejo de álgebra lineal para mostrar esta explícitamente (es mucho más fácil y breve para usar la notación de matriz...)
$$\begin{align} \sum_i \hat{y}_i\left( y_i - \hat{y_i}\right) &=(Xb)'(y - Xb)\ &= b'X'y-b'X'Xb \ &= y'X(X'X)^{-1}X'y - y'X(X'X)^{-1}X'X(X'X)^{-1}X'y\ &= y'X(X'X)^{-1}X'y - y'X(X'X)^{-1}X'y\ &= 0 \end{align} $$
