La pregunta es
Supongamos $f(x,y)$ se define en $[0,1]\times[0,1]$ y continua en cada dimensión, es decir, $f(x,y_0)$ es continua con respecto a $x$ cuando la fijación de $y=y_0\in [0,1]$ $f(x_0,y)$ es continua con respecto a $y$ cuando la fijación de $x=x_0\in [0,1]$. Espectáculo $\lim_{m \to \infty ,n \to \infty } f(\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = f(x,y)$.
Mi intento: En primer lugar, sé que $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty ,n \to \infty } (\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = (x,y)$.
En segundo lugar se ve $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f(\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } f(\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},y) = f(x,y)$, e $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } f(\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f(x,\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = f(x,y)$, ya que el $f(x,y)$ es continua en cada dimensión.
Sin embargo, no estoy seguro de si esto se puede inferir $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty ,n \to \infty } f(\frac{{\left\lfloor {mx} \right\rfloor }}{m},\frac{{\left\lfloor {ny} \right\rfloor }}{n}) = f(x,y)$.
¿Alguien puede brindar alguna ayuda? Gracias!
Añadió:
Ahora estoy seguro de $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{mn}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {a_{mn}} = L$ no implica $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty ,n \to \infty } {a_{mn}} =L$ en general. Espero que alguien pueda ayudar a resolver el problema.
