¿Por qué diferentes grupos de simetría pueden ser isomorfos?

Question

Lo que yo entiendo :

Un grupo se caracteriza por cómo dos de sus elementos que interactúan. Es la "estructura" del grupo que se describe. Así, dos grupos que tienen la misma estructura es básicamente la misma (isomorfo).

El aditivo grupo $\Bbb R$ puede ser considerada como el conjunto de todas las correderas de las simetrías de la "cantidad" de la línea. Cualquier número puede ser visto como la acción de deslizamiento que se lleva a $0$ a ese número.

Igualmente, el grupo multiplicativo $\Bbb R^+$ es el conjunto de todos estiramiento/aplastándola simetrías del número de línea. Un número que representa la acción que se lleva a $1$ a ese número.

El problema :

A mí me parece que los dos grupos mencionados anteriormente son muy diferentes en el sentido de que correderas y estiramiento/aplastándola son muy diferentes tipos de acciones. Pero, los dos grupos son isomorfos. Yo siempre iba a ver a dos grupos isomorfos como siendo de la misma; sin embargo, después de mirar a $\Bbb R$ $\Bbb R^+$ como grupos de simetrías de la cantidad de la línea, yo no estoy tan seguro de que yo consideraría como siendo el mismo.

P. S. yo no estoy familiarizado con el concepto de un "grupo de acción"

Answer 1

Todo lo que hablo puede ser definido formalmente, pero como tu pregunta, parece ser una intuición voy a dejar todo como la intuición.

Dos grupos de $G$ $H$ son isomorfos si tienen el mismo grupo de la estructura que se le puede etiquetar elementos de $G$ y el grupo de operación para obtener $H$, en su ejemplo, nos reemplazar '$0$ ''$1$ ' e $x$ $e^x$ dice ir de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^+$(y obviamente $+$ $\times$).

Pero la estructura que se refiere en la pregunta es la acción de $G$. Dos acciones de un grupo no tiene que ser la misma en la estructura (a pesar de $G$ obviamente ser isomorfo a sí mismo). Por ejemplo, $C_2\times C_2$ puede ser considerado como el subgrupo de $S_4$ generado por $(1,2)$ $(3,4)$ o el subgrupo generado por a$(1,2)(3,4)$$(1,3)(2,4)$. Estas acciones no son equivalentes (uno es transitiva, el otro no). Lo que ocurre es que las dos acciones se dan son equivalentes, por el mismo reetiquetado que da el isomorfismo.

Answer 2

Permítanme añadir un poco de vuelta a la existente respuestas: ¿qué está pasando aquí es que se encuentran el grupo de acciones más de las cosas naturales que en los grupos "por su cuenta". Esto es totalmente razonable y personalmente estoy de acuerdo, pero el punto es que la noción de grupo "en su propia" está diseñado específicamente para abstracto alejado de la acción específica. ¿Por qué queremos hacerlo? Bueno, la respuesta es que los grupos, en lugar de un grupo de acciones, son también interesantes en su propio derecho; una menos "pura" respuesta sería que - como sucede a menudo - el estudio de los más "abstracto" de los objetos puede ceder los datos en el "hormigón".

Sin embargo, al mismo tiempo, vale la pena señalar que también hay una noción de isomorfismo de acciones del grupo: si tengo una acción $\alpha$ de un grupo de$G$ sobre un conjunto $X$ y una acción $\beta$ de un grupo de $H$ sobre un conjunto $Y$, $\alpha$ $\beta$ son isomorfos si hay bijections $f:G\rightarrow H$ $g:X\rightarrow Y$ que "hacer todo el viaje," que es, tal que para todos los $c\in G$$x,z\in X$,$\alpha(c,x)=z\iff \beta(f(c),g(x))=g(z)$. Con esta noción de las acciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^+$ $\mathbb{R}$ que usted describe no son isomorfos! Este es un buen ejercicio; como sugerencia, creo que alrededor de puntos fijos (puede que una acción de este último nunca se moverá $0$?).

Dicho esto, un montón de acciones que podemos pensar que no es el mismo de hecho son isomorfos; por ejemplo, la mutliplicative de $\mathbb{R}^+$ $\mathbb{R}^+$ es isomorfo en el anterior sentido a la acción aditiva de $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$. Así que todavía hay potencial no intuitividad aquí.

El punto es que hay dos distinciones que usted necesita para tener en cuenta: la igualdad frente a isomorfismo y grupos frente a acciones del grupo. Una vez que interiorice estos, creo que la confusión desaparecerá.

Answer 3

No hay ninguna contradicción. Lo que usted escribió es sobre la manera de cada grupo actúa naturalmente en $\mathbb R$. No tiene nada que ver con la manera de que interactúan entre sí los elementos de cada grupo. Y esta interacción es lo que determina que son isomorfos.

Answer 4

Como se dijo en un comentario:

Lo que yo no entiendo es por qué grupos son considerados de la misma cuando son isomorfos si se puede determinar de dos conjunto diferente de simetrías de la misma cosa?

Esto sucede mucho. He aquí un super-simple ejemplo que puede ser más instructivo que en los ejemplos que en su pregunta:

Vamos a escribir $\mathbb{Z}_2$ $\{I, A\}$ donde $I$ es la identidad y $A^2 = I$. Dejamos $\mathbb{Z}_2$ actuar en $\mathbb{R}^2$ dos maneras diferentes:

1) $A(x,y) = (-x,y)$

y

2) $A(x,y) = (x, -y)$

Qué diablos, ¿por qué no añadir una tercera:

3) $A(x,y) = (y,x)$

Cuando nos fijamos en los grupos como de las acciones en los espacios que hay dos componentes: las cosas que pertenecen al mismo grupo, y las propiedades del espacio intervenido. $\mathbb{R}^2$ pasa a tener una estructura uniforme así que hay un montón de maneras de $\mathbb{Z}_2$ puedan actuar sobre ella. Cuando nos decidimos a hacer el grupo de teoría se elige "factor" de las propiedades del grupo actuó en y hacer nuestro mejor esfuerzo para ignorar a ellos, o al menos obtener resultados que son independientes de los. [Por CIERTO, usted puede mirar a la teoría de la representación para ver lo que ocurre cuando decidimos que queremos la atención sobre el conjunto estamos actuando de nuevo.]

Otro muy simple analogía que puede ayudar es una respuesta a la pregunta "¿Qué es la 2?". Una respuesta es que el 2 es la cosa en común entre los dos manzanas, dos coches, dos profesores, etc.. a veces Esto se expresa como "tomar dos manzanas, dos coches, dos profesores y quitar la manzana-ness, el coche-ness, el profesor-ness. Siga haciendo esto para todos los pares de las cosas y lo que le queda es de 2.". Del mismo modo, los grupos se notó por primera vez como acciones en las cosas, pero hemos tratado de eliminar la dependencia de las cosas y terminó con la moderna teoría de grupos.

Answer 5

Desde su intuitiva descripción parece que el siguiente puede ser útil. Supongamos que tenemos una progresión aritmética donde hay una diferencia constante $\,d\,$ entre términos consecutivos. Otra manera de describir esto es que, dada $\,d\,$ hay una asignación $\, x \mapsto x + d \,$ que tiene cada término para el período siguiente. De igual manera, con las progresiones geométricas, donde hay una constante cociente $\,q\,$ entre dos términos consecutivos. Por lo tanto, dado $\,q\,$ hay una asignación $\, x \mapsto x \, q \,$ que tiene cada término para el período siguiente. Lo que esto nos da es un mapeo entre las progresiones aritméticas y progresiones geométricas y las dos acciones que usted describe se comportan de manera similar y son isomorfos. El isomorfismo puede ser explícita, por una exponencial/logarítmica mapa. De hecho, John Napier inventó los logaritmos de esta manera, utilizando paralelo progresiones aritméticas y geométricas. Consultar el MSE pregunta 47927 "la Motivación para Napier de Logaritmos" para más detalles.