Hay $n$ puntos en el plano. Cualquier $3$ de ellos puede ser cubierto con un círculo de radio $1$. Demostrar que hay un círculo de $1$de % de radio que cubre todos los puntos.
Llegó a esto cuando intentó probar un caso fácil del Teorema de Helly(para $r = 1$ círculos).
Por lo que es obvio que la solución no puede usar de Helly.
Definitivamente que me falta algo, necesitamos un Consejo sabio...
Respuesta
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Procedemos por inducción: Supongamos que tenemos $x_1,\dots,x_{n-1}$ en un círculo $C=B(x_0,1)$ de radio 1 y el centro de la $x_0$, y deje $x_n$ ser tal que para todos los $i,j\in [1,n-1]$, hay un círculo de radio 1, que contiene $x_i,x_j,x_n$. Ahora establezca $C_i=B(x_i,1)$ y $$ R:=\bigcap_{i=1}^n C_i $$ la intersección de la radio 1 en círculos alrededor de cada una de las $x_1,\dots,x_{n-1}$. A continuación,$R\ne \emptyset$, desde $x_0\in R$. Hay tres casos:
$R$ es sólo un punto ($R=x_0$), y sólo hay dos puntos de $x_i,x_j$ a una distancia 1 de $R$. A continuación, $x_i,x_j$ son puntos opuestos y, necesariamente,$x_n\in R$, ya que el único círculo que contiene a$x_i,x_j$$C=B(x_0,1)$.
$R$ es sólo un punto ($R=x_0$), y hay tres puntos de $x_i,x_j,x_k$ a una distancia 1 de $R$, y no figura en ningún semicírculo con el centro $x_0$. Suponga $d(x_k,x_n)=\min\{d(x_i,x_n),d(x_j,x_n),d(x_k,x_n)\}$. Entonces $d(x_n,x_0)=d(x_n, C_i\cap C_j)\le 1$, ya que el $x_i,x_j,x_n$ están contenidas en un círculo de radio 1, y por lo $x_n\in C$.
$R$ tiene más de un punto. En este caso el límite de $R$ se compone de arcos de círculo de radio 1. Vamos $x$ ser la esquina más cercana de $R$$x_n$, es decir, $d(x_n,x)=min\{d(x_n,c)\ :\ c\text{ a corner of $R$}\}$. A continuación, $x$ es la intersección de dos arcos de los círculos, decir $C_i, C_j$. Entonces $d(x_n,R)=d(x_n, C_i\cap C_j)\le 1$, ya que el $x_i,x_j,x_n$ están contenidas en un círculo de radio 1. Elija un punto de $c_n$$R$$d(x_n,c_n)\le 1$, y, a continuación,$x_1,\dots,x_n\in B(c_n,1)$.
Las igualdades $d(x_n,x_0)=d(x_n, C_i\cap C_j)$ en el caso 2 y $d(x_n,R)=d(x_n, C_i\cap C_j)$ en el caso de que 3 son centrales. En el caso 2. la igualdad puede ser probada geométricamente dibujo de las mediatrices a $x_i,x_k$ $x_j,x_k$ y demostrando que $x_n$ debe ser en el segmento del plano determinado por estas líneas. En el caso 3., tenemos que dibujar las bisectrices a $x$ y el próximo esquinas de $R$, es decir, la línea a través de $x_i$ y el punto medio del arco de $C_i$ $R$ y la línea a través de $x_j$ y el punto medio del arco de $C_j$$R$.
