Encontrar el intervalo más grande para que las siguientes series es convergente en todos los puntos x en el mismo

Question

Encontrar el intervalo más grande para que las siguientes series es convergente en todos los puntos x en él.

\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n(3x-1)^n}{n}. \end{equation}

Aplicando cociente prueba de radio de convergencia es 2, entonces recibimos $(-\frac{1}{3}, 1)$ pero la dificultad está en puntos extremos. Por favor ayuda.

Answer 1

Podemos aplicar el test del cociente a la serie original, que es una expansión de alrededor de $x=1/3$, se puede aplicar a la serie transformada mediante la toma de $z = 3x-1$.

Si hacemos lo primero, la prueba de razón le da un radio de convergencia de $1/6$$x=1/3$. Si hacemos esto último, el radio de convergencia es$1/2$$z=0$. Así que o $x \in (1/6,1/2)$ o $z \in (-1/2,+1/2)$ en un intervalo de convergencia absoluta, según la prueba de razón.

Ahora tenemos una alternancia de serie en el extremo de $x=1/6$, equiv. $z=-1/2$, y debido a la $n$ en el denominador, esto va a ser un condicionalmente convergente la serie (armónica) nos son conocidos.

En el otro extremo de la serie es de todos los términos positivos y armónico, y sabemos que diverge (muy, muy lentamente).

Answer 2

Convergencia de $\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n(3x-1)^n}{n} \end{equation}$ significaría realmente el requisito de

$$|2(3x-1)|

Así. Se asegura que converge para $$\frac{1}{6}<x el="" esto="" grande...="" m="" no="" pero="" puede="" ser="">así que tienes que comprobar para puntos finales... (Que le daría "el más grande")

Dejo a usted...

</x>

Answer 3

Vuelva a colocar el numerador $y^n$. Lo que te enfrentas a continuación son la infinita serie de Taylor de $-\log (1-y)$. Sustituir ahora por la definición que utilizó para $y$ y te $-\log (3 - 6 x)$. Entonces...