Triángulo hiperbólico y dos puntos en el disco de Poincare

Question

Dado un triángulo hiperbólico $T$ y dos puntos $p$ y $q$ en el disco de Poincare. Obsérvese que $p$ y $q$ están fuera del triángulo. Si $p$ tiene distancias más cortas a los tres vértices de $T$ que $q,$ podemos afirmar que $p$ tiene distancias más cortas a todos los puntos dentro de $T$ que $q$ ?

Si la respuesta es cierta, ¿podemos extender esta afirmación de un triángulo hiperbólico a un casco convexo hiperbólico?

Answer 1

Sí, es cierto.

Para un punto $p$ no en el triángulo, hay un punto único $x$ en el triángulo $T$ tal que $d(p,x)=d(p,T)$ (donde $d$ denota la función de distancia hiperbólica). Si $x$ es un vértice de $T$ entonces por su hipótesis, $q$ está más cerca de $x$ que $p$ y, por tanto, está más cerca de $T$ que $p$ .

Si $x$ no es un vértice de $T$ entonces debe estar en el interior de una arista $e\subset T$ digamos que con puntos finales $a, b$ . Sea $R=d(p,e)=d(p,T)$ . La intersección de los dos discos de radio $d(a,p), d(b,p)$ acerca de $a$ y $b$ se encuentra respectivamente en el interior del tubo de radio $R$ acerca de $e$ . Esto a su vez se debe a que si tenemos un círculo, y tomamos un radio del mismo, y una cuerda perpendicular al radio que corta una luna, entonces cada punto de la luna estará más cerca del radio que los dos puntos extremos de la luna (puede ser útil considerar esto en el espacio euclídeo antes de pensar en ello en el espacio hiperbólico, ya que el argumento es esencialmente el mismo).