Encontrando el límite de la secuencia.

Question

Dada una secuencia definida como

PS

Y quiero encontrar el límite de esta secuencia.

Creo que el límite es infinito positivo, pero no sé qué debo hacer para demostrar esto.

Por favor, dame algunos consejos sobre cómo abordar esto, gracias a cualquiera que ayude.

Answer 1

$$ \frac{n}{\sqrt{n^3+1}}\sim\frac1{\sqrt{n}}, $$ por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty. $$

Explicación, utilizando la serie' los métodos de

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{\sqrt{n^3+1}}}{\dfrac1n}=1 $$ y la serie $$ \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n}} $$ es divergente, por lo tanto, también $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^3+1}} $$ id divergentes, sino $a_n$'s son las sumas parciales de esta serie.

Más elemental explicación

Es fácil ver, que $$ \dfrac{n}{\sqrt{n^3+1}}\geq\frac1n $$ para todos los $n\geq2$. Vamos $$ b_n=1+\frac12+\dots+\frac1n. $$ Sin duda es creciente, por lo tanto permanece para mostrar, que es ilimitado. Consideremos $$ b_{2^n}=1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\dots+\frac18\right)+\dots +\left( \frac1{2^{n-1}+1}+\dots+\frac1{2^n}\right). $$ Pero el valor de cada paréntesis es mayor que $\frac12$, por lo tanto $$ b^{2^n}>1+\frac{n}{2}. $$

Answer 2

Tenga en cuenta que para$n > 1$

PS

y la serie diverge porque la serie armónica$$\frac{n}{\sqrt{n^3 +1}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1/n^2 }}> \frac1{\sqrt{2n}}> \frac1{\sqrt{2}n},$ diverge.