Diferencia entre el espacio tangente y el plano tangente

Question

He evitado hacer cualquier curso múltiple (lamentándolo un poco), sin embargo tengo cierta comprensión. Deje que $p$ ser un punto en una superficie $S:U \to \Bbb {R}^3$ que definimos:

El espacio tangente a $S$ en $p$ , $T_p(S)=\{k \in\Bbb {R}^3 \mid\exists\textrm { a curve } \gamma :(-ε,ε) \to S \textrm { with } \gamma (0)=p, \gamma '(0)=k\}$ .

El plano tangente a $S$ en $p$ como el avión $p+T_p(S) \subseteq\Bbb {R}^3$ .

Mi entendimiento actual es que en el diagrama debajo del plano tangente es el plano que se muestra, mientras que el espacio tangente sería p menos cada elemento del plano, por lo tanto el plano correspondiente que pasa por el origen. ¿Es esto correcto o es incorrecto? Estoy haciendo un curso llamado geometría de curvas y superficies y no estoy seguro de esto, lo que dificulta la comprensión de los temas posteriores.

Editar - no se pueden publicar imágenes, ¡aquí hay un enlace en su lugar! http://standards.sedris.org/18026/text/ISOIEC_18026E_SRF/image022.jpg

¡Gracias!

Answer 1

Exactamente. El espacio tangente es simplemente una traslación del plano tangente tomando $p$ a $0$ . Una propiedad agradable que el espacio tangencial siempre tiene (pero que un plano tangencial casi nunca tiene) es que se cierra por adición y multiplicación escalar - es decir, para cualquier $ \alpha\in\Bbb R$ y cualquier $x,y$ en el espacio tangencial, tenemos $x+y$ y $ \alpha x$ en el espacio tangencial.

Answer 2

Aunque las definiciones que ha dado son aceptables, yo usaría diferentes definiciones para el espacio tangente y el plano tangente que revelan algo más de estructura matemática.

• El plano tangente es un objeto geométrico. Se puede definir el plano tangente a un punto $p$ en una superficie $S$ en $ \mathbb {R}^3$ como un avión en $ \mathbb {R}^3$ que se cruza $p$ y cuyo vector normal es paralelo al gradiente de $f$ si $S$ se representa como la superficie plana $f(x,y,z) = 0$ . Pero toda esa formalidad se usa simplemente para describir el objeto geométrico que todo el mundo puede visualizar intuitivamente.

• El espacio tangencial es un espacio vectorial de funciones lineales. Cada vector $v \in T_p S$ actúa sobre una función $g \in C^1(S)$ de tal manera que $v(g)$ te da un derivado direccional de $g$ en una dirección particular (que puede identificarse con $v$ en sí mismo). Así, el espacio tangente $T_p S$ puede identificarse naturalmente con el plano tangente, porque las únicas direcciones en las que tiene sentido tomar la derivada direccional son las que se encuentran en el plano tangente.