encontrar el positivo integre soluciones $x^2+5xy=5775$

Question

Dada la ecuación: $x^2+5xy=5775$.

¿Cómo puedo encontrar las soluciones del número entero positivo de él?

Puedo escribirlo como $x(x+5y)=5775$ pero parece ser difícil de adivinar.

Gracias.

Answer 1

$$5775=355711$ $ Usando Fretties comentar tenemos $x=5, 15, 35,55. $ por ejemplo $x=5,y+1=407.$

Pero si $x=105$ y $ 105+5y>\frac{5775}{105} $

Answer 2

$x^2=5(1155-xy)$

x dividido en ⇨ 5 x = 5k

$25k^2=5(1155-xy) ⇨ 5k^2 = 1155-xy ⇨ ky=231-k^2 ⇨ y={231\over k}-k$

231 se divide en k.

231 divisores:

1, 3, 7, 11

21, 33, 77, 231

Compruebe todas las $k

para k = 1 ⇨ x = 5

Utilizando $ky=231-k^2 ⇨ y=230$

...

$k>15 ⇨ y

No nos conviene. Soluciones:

$x=5,y=230; x=15, y=74; x= 35, y=26; x=55, y=10.$

Answer 3

Mod 5, puedes ver los $x\equiv0$. Así $x=5k$ y ahora $$25k^2+25ky=5775$ $ $$k^2+ky=231$ $ $$k(k+y)=231$ $ $k$ es un factor de $231=3\cdot7\cdot11$. $y$ Es positivo, $k$ debe ser menor que su cofactor $k+y$. Así que hay opciones de $\frac122^3=4$ $k$ (explícitamente son $1,3,7,11$), y luego se determina $y$ $\frac{231}{k}-k$ (y $x=5k$.)