Número de cubos

Question

Tenemos cubos de $X$ $8000\le X\le10000$. Hemos construido columnas con bases de $2×2$, dejando 2 cubos. También hemos construido columnas con $3×3$ $5×5$ bases, dejando 4 cubos en estos casos.

¿Cómo podemos calcular el número de cubos?

Tengo creado la ecuaciones $$n\equiv2\bmod4$ % $ $$n\equiv4\bmod9$$ $$n\equiv4\bmod25$ $ pero yo no estoy seguro de cómo proceder para calcular el número correcto. ¿Cuál es la mejor manera de calcularlo? Gracias por la ayuda.

Answer 1

4, 9 y 25 son relativamente privilegiada, el Teorema chino del resto garantiza que el número de bloques $X$ único modulo $4\cdot9\cdot25=900$.

$X\equiv4\bmod9$ y $X\equiv4\bmod25$ $X\equiv4\bmod225$ (el producto de 9 y 25). Agregar 225 repetidamente a 4 hasta llegar a un número que es $2\bmod 4$: $$4+225+225=454\equiv2\bmod4$ $ esto es $X\bmod900$; ahora añadir 900 repetidamente a 454 hasta llegar a un número de entre 8000 y 10000. Son los posibles valores de $X$ $$454+900\cdot9=8554$ $ $$454+900\cdot10=9454$ $

Answer 2

El Resto Chino se utiliza para calcular un número $n$ en este caso que cuando se divide por $4$ resto $2$, $9$ resto $4$ y $25$ resto $4$.

A continuación,$lcm(4,9,25) = 900$, y necesitamos de $a+b+c \equiv r \pmod{900}$

Vamos a comenzar el cálculo de $a=2\cdot9\cdot25\cdot t$ donde $t_1 \equiv (9\cdot25)^{-1} \pmod 4$.

A continuación, $t_1 \equiv 225^1 \equiv 1 \pmod 4$ $a=450$

Para $b=4\cdot4\cdot25\cdot t_2$ donde $t_2 \equiv (4\cdot25)^{-1} \pmod 9$.

A continuación, $t_2 \equiv 1 \equiv 100^5 \pmod 9$ $b=400$

Para $c=4\cdot4\cdot9\cdot t_3$ donde $t_3 \equiv (4\cdot9)^{-1} \pmod 9$

A continuación, $t_3 \equiv 16 \equiv 36^{19} \pmod{25}$ $c=2304$

Por lo tanto $454 \equiv a+b+c \equiv 3154 \pmod{900}$ $n=454$ pero no hemos terminado todavía.

Ya que quieres que $n$ satisface $8000<n<10000$ $n=8554$ o $n=9454$

Answer 3

$n \equiv 4 \pmod 9\n \equiv 4 \pmod {25}$

Por lo tanto
$n \equiv 4 \pmod {225}$

Números posibles son $8104 8329, 8554, 8779, 9004, 9229, 9454, 9679, $ 9904

Últimos dos dígitos de por encima de los números son
$04, 29, 54, 79, 04, 29, 54, 79, 04 $

Últimos dos dígitos añadidas por $2$ de números son
$06,31,56,81,06,31,56,81,06$

Sólo $56$ es divisible por $4$

Correspondientes números son $8554$ y $9454$
Estos son los números necesarios