Dos preguntas sobre grupos y presentaciones.

Question

tengo dos preguntas acerca de presentaciones de grupo:

1. Dada la presentación de $\langle a,b:a^2=1=b^3,(ab)^3=1\rangle$. Sé que esta es la presentación de $A_4$ pero cómo deducir que. Debo dar un homomorphism de la presentación a $A_4$ y a la conclusión de que este es un isomorfismo? Si es así, ¿cómo probar que una asignación es inyectiva/surfective/homomorphism? Por ejemplo podemos hacer que $a\mapsto (12)$$b\mapsto (123)$. Pero, ¿cómo ir más allá para obtener el resultado?
2. Dada la groupspresentation $G=\langle a_1,\cdots,a_g:\prod_{i=1}^g{a_i^2}=1\rangle$ (sobre todo esto es la presentación de la fundamentalgroup de cerrado no-orientable superficies. Quiero calcular el abilization $G/[G,G]$. Desde mi punto de vista tiene que ser $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})\times\Bbb{Z}^{g-1}$. Pero, ¿cómo debo argumento para hacer esto claro?

Gracias por la ayuda, consejos y soluciones :)

Answer 1

Para (1), usted sabe $A_4$ satisface la presentación (sólo tome $a = (12)(34), b = (123)$, y tenga en cuenta que $a b = (134)$; por favor, tenga en cuenta que el elemento $(12)$ que tener en cuenta es que no se en $A_{4}$), por lo que el grupo $$ G = \langle a,b:a^2=1=b^3,(ab)^3=1\rangle $$ tiene el fin de , al menos, $12$, porque ha $A_{4}$ como homomórfica de la imagen. (Porque todos sabemos que en esta etapa, también podría ser infinito.)

Ahora en $G$, tenga en cuenta que la primera relación y la segunda relación media $$a^{-1} = a, \qquad b^{-1} = b^{2};\tag{pow}$$ también, tenga en cuenta las consecuencias de la tercera relación: $$ b a b = a b^{-1}, \qquad a b a = b^{-1} b^{-1} . \etiqueta{contras} $$

Ahora considere los elementos $$ a, b^{-1} a b, $$ y el subgrupo $V = \langle a, b^{-1} a b \rangle$ que se extienden en $G$. Los dos elementos conmuta con cada uno de los otros, como (pow) y (contras) implica $$ un (b^{-1} a b) = (a b^{-1} a) b = (b a b) b = b a b^{-1} = b^{-1} b^{-1} b^{-1}) = b^{-1} (b, a) = (b^{-1} a b). $$ Por otra parte, de nuevo por (pow) y (contras), $$ b^{-1} b^{-1} b) b = (b a b) b = (b^{-1} a) b = a (b^{-1} a b) \en V. $$

Por lo $V$ es un subgrupo normal de $G$, de orden en la mayoría de las $4$, y el cociente grupo $G/V$ es generado por $b$, lo $G$ ha pedido en la mayoría de las $12$.

De ello se desprende que $G$ ha pedido precisamente,$12$, y es isomorfo a $A_4$.

Para (2), si $H$ es su abelianization, a continuación, tenga en cuenta que $H$ es generado por (la imagen de) $a_1, \dots, a_{g-1}$ y $b = a_{1} a_{2} \dots a_{g}$. Con respecto a estos grupos, la relación se convierte en $b^{2} = 1$. Así que usted está hablando de la abelian grupo con presentación $$ \langle a_1, \dots, a_{g-1}, b : b^2 = 1 \rangle $$ que de hecho es isomorfo a $\Bbb{Z}^{g-1} \times \Bbb{Z}_{2}$.

Answer 2

En cuanto a tu segunda pregunta, si dejas que $a=\prod^g_{i=1} a_i$ puede reescribir el abelianization de $G$ $$ g / [G, G] = a1 \langle, \dotsc, a {g-1}, un: un ^ 2 = 1, [a_i, a_j] = 1, [a_i, a] = 1\rangle $$ es decir, es simplemente $\Bbb Z^{g-1}\times C_2 \simeq \Bbb Z^{g-1}\times \Bbb Z/2\Bbb Z$.