$\mathrm{Hom}_G(V,W)$ como un subespacio de $\mathrm{Hom}(V,W)$

Question

Supongamos $V$ $W$ son dos representaciones de un grupo de $G$ donde $V$ $W$ $k$- espacios vectoriales. Definir $\mathrm{Hom}(V,W)$ a ser el espacio de $k$-lineal mapas de $V \to W$. Mis notas dicen que:

$\mathrm{Hom}_G(V,W) = \{ \phi \in \mathrm{Hom}(V,W): g \phi = \phi \}$, y tenemos una proyección lineal $\mathrm{Hom}(V,W) \to \mathrm{Hom}_G(V,W)$ $ \displaystyle \phi \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g \phi$

Estoy confundido por esto. $g \phi = \phi$ no es suficiente para $\phi$ $G$- lineal mapa, ¿no? Pero sin embargo, el mapa de proyección de las correcciones de los mapas que satisfacer $g \phi = \phi$, lo que sugiere que esto no es un error.

Gracias

Answer 1

Esta respuesta CW se propone eliminar la cuestión de la cola sin respuesta.

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Como Qiaochu Yuan señaló en los comentarios de que la acción de $g$ de homomorphisms es así $$(g\phi)(x):=g\phi(g^{-1}x)$ $ ahora si tienes $g\phi=\phi$ entonces usted tiene $(g\phi)(x)=g\phi(g^{-1}x)=\phi(x)$ % todos $x$. Multiplicando esto por $g^{-1}$ de la izquierda tiene $\phi(g^{-1}x)=g^{-1}\phi(x)$. Obviamente es el mismo como $\phi$ $\operatorname{Hom}_G(V,W)$.