Cuando se trabaja con series de Fourier, el producto interior se define como $$\int_{-L}^L f(x)g(x)dx$$
Veo esta definición en todas partes y sabemos que $\rm{sin}\big(\frac{n\pi x}{L}\big)$ y $\rm{cos}\big(\frac{n\pi x}{L}\big)$ formará una base ortogonal, pero no ortonormal.
Mi pregunta es: ¿por qué no es más habitual definir el producto interior como $$\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)g(x)dx$$ ?
Porque con esta definición, la base anterior será ortonormal.
Creo que la base será precisamente $\Big\{ \frac{1}{2},\rm{sin}\big(\frac{\pi x}{L}\big),\rm{cos}\big(\frac{\pi x}{L}\big),\rm{sin}\big(\frac{2\pi x}{L}\big),\rm{cos}\big(\frac{2\pi x}{L}\big),\ldots \Big\} $ .
