$f(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{(1+ \sin \frac{\pi}x)^n - 1} { (1+ \sin \frac{\pi}x)^n +1}$, $x \in (0,1]$. Que $f$ es integrable en $[0,1]$

Question

Una función definida en $[0,1]$ $f(0) = 0$ y

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{(1+ \sin \frac{\pi}x)^n - 1} { (1+ \sin \frac{\pi}x)^n +1}$, $x \in (0,1]$. Para mostrar que %#% es integrable en $f$ #% y $[0,1]$.

Mi intento: Vemos que el $\int_0^1f = 1 - \log4$,

para $f(x) = 0 , \forall x = 1, \frac 1 2, \frac 1 3, \ldots$

¿Cómo encontrar $\frac 1 2

y $f(x)$

¿De una misma manera otros a repetir... Cómo proceder desde aquí?

Answer 1

Que $\displaystyle f_n:(0,1]\to \mathbb R,x\to\frac{(1+ \sin \frac{\pi}x)^n - 1} { (1+ \sin \frac{\pi}x)^n +1}$.

Que $x\in (0,1]$ ser un número real fijo.

Si $x\in (\frac{1}{2p+1},\frac{1}{2p})$ $p\in \mathbb N$, entonces el $\sin (\frac{\pi}x)>0$. Por lo tanto, $f_n(x)\to 1$ $n\to \infty$

Si $x\in (\frac{1}{2p+2},\frac{1}{2p+1})$ $p\in \mathbb N$, entonces el $\sin (\frac{\pi}x)

Esto produce una forma cerrada para $f$:

• Si $x\in (\frac{1}{2p+1},\frac{1}{2p})$ y $f(x)=1$
• Si $x\in (\frac{1}{2p+2},\frac{1}{2p+1})$ y $f(x)=-1$

Para probar el $f$ es integrable, se puede utilizar Teorema de Lebesgue DCT.

Entonces $\displaystyle \int{0}^1 f = \lim{n\to \infty} \int{1/(n+1)}^1 f(t) dt=\lim{n\to \infty} \sum{k=1}^n \int{1/(k+1)}^{1/k} (-1)^k=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\ln(4).$