¿Isomorfismo canónico entre el paquete del vector y doble?

Question

Así, se nos ha pedido, teniendo en cuenta un verdadero vector paquete equipado con una métrica, que hay un isomorfismo canónico desde el vector paquete y su doble.

Ahora, hay un teorema que dice que dos vectores paquetes son isomorfos iff su transición de las funciones de satisfacer $\mu_i g_{ij} = f_{ij} \mu_j$ donde $\mu_i$ es un mapa de $U_i \rightarrow GL(r, \mathbb{R})$ $g_{ij}$ $f_{ij}$ son los dos grupos de transición de funciones.

Yo iba a decir lo siguiente: Dada una métrica y Gram-Schmid, siempre se puede organizar para ortonormales marcos, y por lo tanto ortogonal de transición de funciones. Por lo tanto (ya que el doble paquete de transición de las funciones de la igualdad de la inversa de la transpuesta de los paquetes de transición de funciones), la anterior se satisface trivialmente.

Mi pregunta es: Es esto todavía 'canónica'? Quiero decir, el hecho de que puedes hacer esto es una "característica universal" de vector de paquetes equipados con las métricas, por lo que debe ser una canónica de la iso (según la wikipedia). Pero, estoy confundido por el significado de "isomorfismo canónico' con el significado de "independiente de la base". En el de arriba, yo soy la especificación de una base.

Answer 1

Sí, si usted tiene un vector paquete de $E \to M$, con una métrica de fibra de $h$, entonces no es un isomorfismo natural inducida por la usual de identificación de un espacio vectorial con su doble en la presencia de un interno del producto (que no necesariamente definitivo de firma): El mapa de $\Phi: E \mapsto E^*$ está dado por fiberwise $$\Phi_p: v \mapsto h_p(v, \,\cdot\,),$$ que es manifiestamente independiente de la base, y como una sección de $\text{Hom}(E, E^*)$ es obvio que es tan suave como la $h$ es, porque es $h$, visto doblemente.

(Por supuesto, todo esto requiere una métrica o un sustituto adecuado, en general no es natural isomorfismo entre un espacio vectorial y su doble, o entre un vector paquete y su doble.)