¿Un punto aislado es un sistema abierto?

Question

Tengo la siguiente definición:

En un espacio métrico $(X,d)$ elemento $x \in X$ se llama aislado si $\{x\}\subset$ X es un subconjunto abierto

Pero, ¿cómo puede $\{x\}$ ser un subconjunto abierto? Tiene que existir una bola abierta con un resultado positivo de radio centrado en $x$ y al mismo tiempo este abierto pelota tiene que ser un subconjunto de a $\{x\}$ pero cómo puede ser esto si sólo hay un elemento?

Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de esto, pero no puedo averiguar. No tiene sentido para las métricas en $\mathbb{R}^n$ desde cada una de las bolas con algunos positivos, radio tiene para contener a otros miembros de $\mathbb{R}^n$.

La única cosa que podía pensar era en que tenemos algo de $x$ con 'nada' a su alrededor y una bola que contiene sólo $x$ & 'nada' (aunque positivo radio no tiene sentido ya que no hay nada), así que por lo tanto el open de bola es contenido en $\{x\}$. Pero ni siquiera estoy seguro de que podemos definir un espacio métrico, digamos definir una bola abierta con un resultado positivo de radio que contiene sólo $x$ & 'nada'.

Answer 1

Supongamos que el espacio métrico es $\mathbb{Z}$. Coger una bola alrededor del elemento $4 \in \mathbb{Z}$ de radio $\frac{1}{2}$. El único elemento de su espacio métrico en esa bola es $4$, por lo que la bola es sólo el conjunto de ${4}$, ${4}$ es abierto.

Answer 2

Deje $X$ ser cualquier conjunto no vacío, y definir una función $d:X\times X\to\Bbb R$ como sigue:$x,y\in X$,

$$d(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=y\\ 1,&\text{if }x\ne y\;. \end{casos}$$

Usted puede comprobar fácilmente que esta función $d$ es una métrica en $X$; es comúnmente llamado el discreto métrica en $X$. Ahora observar que para el si $x\in X$$0<r\le 1$, luego

$$B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}=\{x\}\;:$$

el conjunto $\{x\}$ es el abrir $r$-bola centrada en $x$ que $0<r\le 1$.

De una forma menos trivial ejemplo, consideremos el conjunto

$$Y=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$$

con la métrica que se hereda de la métrica usual en $\Bbb R$. Usted puede verificar que para cada una de las $n\in\Bbb Z^+$ hemos

$$B\left(\frac1n,r\right)=\left\{\frac1n\right\}$$

siempre que $0<r\le\frac1{n(n+1)}$; esto es debido a que el punto de $Y$ más cercano a $\frac1n$$\frac1{n+1}$, y la distancia entre ellos es

$$\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}\;.$$

Answer 3

Tomemos, por ejemplo, el conjunto que los enteros, con la métrica heredada de la métrica en $\mathbb{R}^1$. Entonces cualquier singleton está abierto, y así que cada punto es aislado. Esto es porque, como usted ha dicho, estos puntos 'nada' tienen a su alrededor (si miras lo suficientemente cerca).