Retracción de deformación no cerrado

Question

Estoy en busca de una $T_1$ espacio $X$ que la deformación se retrae en un no-cerrada subespacio $A$. Un espacio de este tipo no puede ser Hausdorff como cualquier retractarse en un espacio de Hausdorff es cerrado.

He probado algunos espacios, por ejemplo la unidad de intervalo con dos orígenes (tome $[0,1]×\{0,1\}$ e identifique $(x,0)\sim(x,1)$$x>0$) y el subespacio $A=X-\{(0,1)\}$. Aunque este es un retraer - mapa de $(0,1)$ $(0,0)$- no es una deformación de retractarse.
Tenga en cuenta que si $H:X×I\to X$ es el homotopy con $H(x,0)=x$, $H(x,1)=r(x)$ y $H(a,t)=a$ todos los $a\in A$, y si $x\in\overline A$, $H(x,t)$ debe ser un punto en $\overline A$ por cada $0<t<1$, y si $H(x,t)\in A$, $H(x,t)$ $x$ no puede tener distintos barrios.

¿Tiene usted alguna idea?

Answer 1

A refinar su contraejemplo, por ejemplo tomar $[0,1]\times [0,1]$ e identificar $(x,t)\sim (x,u)$ si $x>1$ (para cualquier $t,u$).
El espacio cociente $Y$ que obtener deformación se retrae en la proyección de $[0,1]\times{0}$ para el cociente, que no está cerrado.
Observe que puede usar la deformación obvia retracción $[0,1]\times [0,1]\to [0,1]\times{0}$ y el hecho de que una contracción de deformación en un espacio topológico induce una contracción de deformación en un cociente (esta es bien conocida pero no triviales), que en este caso es fácil.

Answer 2

Aquí hay otro ejemplo. Deje $X=I=[0,1]$ con el cofinite topología. A continuación, $A=(0,1]$ es un subespacio abierto que no está cerrado. $X$ es un compacto $T_1$ espacio que se repliega en $A$ mediante el envío de $0$$1$$A$. Si definimos $$H:X×I\X\\(x,t)\mapsto\begin{cases} t,\ \ \text{ if }x=0\\x,\ \,\text{ if }x>0 \end{casos}$$ Desde $H|_{A×I}$ es continua y $A$ está abierto, $H$ es continua en cada punto de $A×I$. Para comprobar la continuidad de un punto de $(0,t)$, vamos a $X-\{x_1,...,x_n\}$ ser un barrio de $t$. Por $d$ queremos denotar la menor distancia entre el$t$, y cualquiera de los puntos de $x_i$. A continuación, $(X-\{x_1,...,x_n\}\cup\{0\})×(t-d,t+d)$ es un barrio de $(0,t)$ cuya imagen está contenida en $X-\{x_1,...,x_n\}$.