Construir una métrica completa sobre $(0,1)$

Question

¿Puede alguien construir una métrica completa sobre $(0,1)$ que induce la topología habitual del subespacio en $(0,1)$ ?

Answer 1

El mapa $$ f:(0,1)\to\mathbb{R}:x\mapsto\tan\pi\left(x-\frac{1}{2}\right) $$ es una biyección que permite definir la métrica $$ d(x,y)=|f(x)-f(y)| $$ que hace que $((0,1),d)$ completa. Desde $f$ mapea intervalos a intervalos entonces ambas topologías son equivalentes.

Answer 2

Definir la función $f$ en $X=(0,1)$ por $$f(x)=\dfrac{2x-1}{x(1-x)}=\dfrac1{1-x}-\dfrac1x, $$ por cada $x$ en $X$ y utilizar $f$ para definir una métrica $d$ en $X$ por $$d(x,y)=|f(x)-f(y)|,$$ por cada $x$ y $y$ en $X$ . Entonces el espacio métrico $(X,d)$ es completa, y su topología es la habitual.

Cada función $f:X\to\mathbb R$ haría tan pronto como $f$ es continua, creciente y tiene límites $-\infty$ en $0$ y $+\infty$ en $1$ .

Answer 3

En general, si $O$ es un subespacio abierto de un espacio polaco $X$ entonces $O$ es un espacio polaco. Un argumento es considerar la inclusión $$\left\{ \begin{array}{ccc} O & \to & X \times \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left( x, \frac{1}{d(x,X \backslash O)} \right) \end{array} \right..$$

Entonces $O$ está cerrado en $X \times \mathbb{R}$ (a grandes rasgos, $\partial O$ es "empujado al infinito" en $X \times \mathbb{R}$ ) y $X \times \mathbb{R}$ es completamente metrizable utilizando la distancia $$((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \mapsto \max (d(x_1,x_2), |y_1-y_2|).$$

Para el ejemplo concreto $X= \mathbb{R}$ y $O= (0,1)$ da la distancia $$(x,y) \mapsto \max \left( |x-y| , \left| \frac{1}{\min(x,1-x)}- \frac{1}{\min(y,1-y)} \right| \right).$$