¿Por qué es el % de elementos $1,i∈\mathbb{C}$, (1) dependiente en $\mathbb{C}$, (2), pero independiente en $\mathbb{R}$?

Question

Es porque

(1) podemos elegir $k{1}=1$ y $k{2}=i$, que $1.k{1}+i.k{2}=0$ $k{1}\neq 0$ y $k{2}\neq 0$.

(2) $i \notin \mathbb{R}$.

Estoy tratando de entender la segunda respuesta a dependencia Linear en un complejo espacio del vector y visto como un espacio verdadero del vector

Answer 1

Supongamos que existen números reales $k_1,k_2$ tal que $1.k_1+i.k_2=0$, entonces el $(k_1+ik_2)(k_1-ik_2) = k_1^2 +k_2^2 = 0$. $k_1$ Y $k_2$ son reales, esto significa que el $k_1^2$ y $k_2^2$ son no negativos, por lo tanto, $k_1^2$ y $k_2^2$ ambas deben ser cero (lo contrario $k_1^2+k_2^2=0$ no sería cierto).

Se deduce que ambos $k_1$ y $k_2$ % cero y tan $1$y $i$ independiente sobre los reales por la definición de independencia lineal en $\mathbb{R}$.

Answer 2

Puede identificar espacio vectorial $\mathbb C(\mathbb R)$ $\mathbb R^2$ para que #% el %#% y $(1,0)$ son elementos de la base.