Anillos e ideales isomorfismos.

Question

Deje que$R$ sea un anillo y$\mathfrak{m},\mathfrak{m'}$ dos ideales de$R$.

Supongamos que$\frac{R}{\mathfrak{m}}$ y$\frac{R}{\mathfrak{m'}}$ son isomorfos. ¿Puedo decir que$\mathfrak{m}$ y$\mathfrak{m'}$ también son isomorfos?

Answer 1

¡Lamentablemente no!

Para un ejemplo particularmente interesante, considere$R = C[0,1]$, el anillo de funciones continuas de$[0,1] \rightarrow R$. Tome el ideal$I = \{f \in R : f(x) = 0 \space \forall x \in [0,\frac12]\}$. El cociente$R/I$ es entonces isomorfo a$C[\frac12, 1]$, que a su vez es isomorfo a$R$ en sí mismo.

Ciertamente entonces$R/I \cong R/\{0\}$, pero$I \not\cong{0}$. Esto también muestra que en un anillo general, la información sobre el cociente puede contener muy poca información sobre el ideal que se está distribuyendo.

Answer 2

No; por ejemplo, deje$R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, deje $$\mathfrak{m}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0}),(\overline{0},\overline{2}),(\overline{1},\overline{2})\}$ $ y$$ \mathfrak{m}'=0\times\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{(\overline{0},\overline{0}),(\overline{0},\overline{1}),(\overline{0},\overline{2}),(\overline{0},\overline{3})\}. Entonces$$R/\mathfrak{m}\cong R/\mathfrak{m}'\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} pero$\mathfrak{m}$ y$\mathfrak{m}'$ no son isomorfos como grupos abelianos, y por lo tanto, ciertamente no es isomorfo como$R$ - módulos.

Answer 3

Deje$\rm\:R = \Bbb Q[x_1,x_2,x_3,\ldots].\:$ Entonces$\rm\: R\,\cong\, R/(x_1\!)\,\cong\, R/(x_1,x_2)\cong R/(x_1,x_2,x_3)\,\cong\, \cdots$