Una expansión asintótica para $(1 + \frac{x}{n})^n$.

Question

Estoy tratando de elaborar una expansión asintótica para la función $$f(x, n) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$% $ de 1$ in the following sense. For all $f_k(x) de #% %k # \geq ser la función de forma recursiva definida por $, let $ $ donde $$fk(x) = \lim{n\to\infty} n^k \left(f(x, n) - \sum_{j = 0}^{k-1}\frac{f_j(x)}{n^j}\right)$.

Mi plan de ataque es escribir $f_0(x) = e^x$ y reorganizar los términos para sacar factores de $f(x, n)$. Esperemos que los coeficientes de estos poderes serán fácilmente identificables de potencia de serie. ¿En lugar de rehacer la rueda aunque, es una extensión conocida? ¿Hay alguna sugerencia sobre cómo hacer esta tarea más fácil?

Gracias.

Answer 1

Bueno, tengo un par de formas desagradables para ofrecer; otra persona puede ser capaz de mejorar en ellos.

1. Empezar con $e^{-x}(1+x/n)^n$, y hacer una expansión de la serie acerca de la $x=0$. Esto le dará una serie donde se obtiene poderes de $n$ en el denominador, pero lo que es más importante, usted sólo tiene que ir a la $2k$th plazo para la plena expansión de la $k$th poder de $n$. (Debe de ser una simple prueba de esto, pero por el momento se me escapa.)
2. Tomar el logaritmo, restar $x$, y utilizar el poder de la serie $$ n\log{(1+x/n)}-x = \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{x^k}{kn^{k-1}} $$ y ahora uso la exponencial de la fórmula para recuperar el poder de la serie de la exponencial. Esto requiere que usted mira para arriba la Campana de polinomios, pero a partir de ahí es muy sencillo y algorítmica, si no necesariamente cerrado de una forma como usted quisiera.