Espacios de cobertura y obstrucción caracterizada por Euler

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean superficies. Si tenemos una cubierta $X\to Y$ entonces $\chi(Y)\mid \chi(X)$ . Supongo que la condición de las características de Euler no es suficiente para garantizar que una superficie cubra a otra. ¿Existen ejemplos triviales de una superficie $X$ que no cubre la superficie $Y$ aunque la característica de Euler sea un múltiplo?

Answer 1

Toma $X=S^2$ la esfera. Entonces $\chi(X)=2\neq 0$ . $Y$ para ser la superficie compacta de Riemann con género $g(Y)=2$ lo que implica que $\chi(Y)=2-2g(Y)=-2\neq 0$ Claramente, $\chi(Y)=-2|2=χ(X)$ . Pero $X$ no cubre la superficie $Y$ ya que por el Teorema de la Uniformización, el recubrimiento universal de $Y$ es la bola unitaria.