¿Para cualquier $a \in \Bbb{Z}$, podemos siempre encontrar dos números primos $p, q$, que $p - q \in (a)$?

Question

Se trata de un importante debilitamiento de muchos suma principal / preguntas de la existencia de la diferencia.

Que <span class="math-container">$a \in \Bbb{Z}$</span> y <span class="math-container">$(a)$</span> el ideal generado por <span class="math-container">$a$</span>. ¿Entonces existen dos números primos <span class="math-container">$p, q$</span> tal que <span class="math-container">$p - q \in (a)$</span> por lo menos?

Gracias.

Answer 1

Esto puede hacerse de una manera primaria; Dirichlet es demasiado extrema.

Para ver esto, observe que hay infinitamente muchos números primos, pero solamente finito muchos restos en la división por <span class="math-container">$a$</span>. Por el principio del casillero, hay dos números primos <span class="math-container">$p$</span> y <span class="math-container">$q$</span> con el resto mismo, y hemos terminado.