Ejercicio :
Calcule el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow \infty}\tan \bigg({\frac{\pi x}{2x+1}}\bigg)^\frac{1}{x}$$
Intento :
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = \frac {1}{\infty} = 0$$
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\tan ({\frac{\pi x}{2x+1}})^\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\tan ({\frac{\pi x}{2x+1}})^0 = 1$$
¿Es correcto?
Como alternativa
$$\frac{\pi x}{2x+1}=\frac{\frac{\pi}2 (2x+1)-\frac{\pi}2}{2x+1}=\frac{\pi}2-\frac{\pi}{4x+2}$$
entonces
$$\left[\tan \bigg({\frac{\pi x}{2x+1}}\bigg)\right]^\frac{1}{x}=\left[\cot \bigg(\frac{\pi}{4x+2}\bigg)\right]^\frac{1}{x}=\frac{1}{\left[\tan \bigg(\frac{\pi}{4x+2}\bigg)\right]^\frac{1}{x}} \to 1$$
En efecto,
$$\left[\tan \bigg(\frac{\pi}{4x+2}\bigg)\right]^\frac{1}{x}=\left[\frac{\tan \bigg(\frac{\pi}{4x+2}\bigg)}{\frac{\pi}{4x+2}}\right]^\frac{1}{x}\left(\frac{\pi}{4x+2}\right)^\frac1x\to 1^0\cdot 1=1$$
En efecto,
$$\left(\frac{\pi}{4x+2}\right)^\frac1x=e^{\frac{\log \left(\frac{\pi}{4x+2}\right)}{x}}=e^{\frac{\log \left(\frac{\pi}{4x+2}\right)}{\frac{\pi}{4x+2}}\cdot\frac{\pi}{x(4x+2)}}\to e^0=1$$
@jasmine borro la otra respuesta, no me gusta tanto y no se diferencia mucho de la que has aceptado.
Escribe $$ \frac{\pi}{2}-t=\frac{\pi x}{2x+1} $$ Cuando $x\to\infty$ tenemos $t\to0^+$ y también $$ t=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2x+1}=\frac{\pi}{2(2x+1)} $$ de donde $$ x=\frac{\pi-2t}{4t} $$ El límite del logaritmo es pues $$ \lim_{t\to0^+}\frac{4t}{\pi-2t}\log\tan t=0 $$ y así su límite es $e^0=1$ .
Sólo hay que verificar que $$ \lim_{t\to0^+}t\log\tan t=0 $$ lo que debería ser capaz de hacer.
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El poder $1/x$ está dentro del argumento del $\tan$ función o es una potencia en toda la expresión de $\tan$ ?
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Esto es falso ya que $\tan(0) =0$
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La cuestión es que no se puede evaluar el límite sólo en alguna parte de la función. Lo que significa que, una vez que se aplica el límite que tiene que reemplazar cada variable con su valor.