Pregunta sobre la dimensión de los elementos en el anillo de cociente

Question

Esta es la pregunta:

Dejemos que $\def\Z{\mathbb Z}\Z[X]$ sea el anillo de polinomios sobre $\Z$ con la variable $X$ . Dejemos que $f(X) = X^3+X^2+2X+2$ . Sea $I$ sea el ideal de $\Z[X]$ generado por $f(x)$ y $5$ . Poner $A =\Z[X]/I$ .

1. Encontrar el número de elementos $a$ en $A$ tal que $a^2=1$

2. Encontrar el número de elementos $b$ en $A$ tal que $b^{18}=1$

Intento utilizar las propiedades de la multiplicación y la adición en el anillo de cociente y casi resuelvo la pregunta 1 muy directamente por enumeración. Entonces encuentro que la enumeración es inútil para la pregunta 2, me pregunto si hay una solución común tal que pueda analizar las dimensiones de los elementos en el anillo cociente y la dimensión del anillo cociente especialmente en la situación que el anillo original es un anillo infinito. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $X^3+X^2+2X+2 = (X+1)(X^2+2)$ . Así que tenemos, por el teorema del recordatorio chino: $$ \Bbb Z_5[X]/(X^3+X^2+2X+2) \cong \Bbb Z_5[X]/(X+1)\times \Bbb Z_5[X]/(X^2+2) $$ Podemos encontrar el número de soluciones a $a^2 = 1$ y $b^{18} = 1$ en cada uno de ellos por separado. Esto es útil porque cada uno de esos dos factores en el producto de la derecha son campos (uno es isomorfo a $\Bbb F_5 = \Bbb Z_5$ y la otra es $\Bbb F_{25}$ ).

Para $a^2 = 1$ que se convierte en $(a+1)(a-1) = 0$ . Utilizando que los campos son dominios integrales (un producto es $0$ si uno de los factores es cero) vemos que $(\pm 1, \pm1)$ (donde los dos $\pm$ son independientes) son las únicas cuatro soluciones. Estas corresponden a $\pm 1$ y $\pm(X^2 + 3)$ en el anillo original.

$b^{18} = 1$ es un poco más complicado. Tomemos $\Bbb Z_5[X]/(X+1)$ primero. Por el pequeño teorema de Fermat, $b^{18} = b^2$ Por lo tanto, las mismas dos soluciones anteriores son las únicas.

Para $\Bbb Z_5[X]/(X^2+2)$ la versión correspondiente del pequeño teorema de Fermat dice que mientras $b\neq 0$ (y $0$ no es una solución de todos modos, así que no perdemos nada por asumir esto), tenemos $b^{24} = 1$ . Si queremos tener $b^{18} = 1$ entonces esto implica que también necesitamos $b^6 = 1$ . Por lo tanto, obtenemos $$ 0 = b^6-1 = (b^3-1)(b^3+1)\\ = (b-1)(b^2+b+1)(b+1)(b^2-b+1) $$ Nos interesa sólo encontrar el número de soluciones a $b^6-1 = 0$ y hay una teoría que nos permite hacerlo con bastante rapidez. También he hecho el cálculo real, y puedes saltar a eso si hay demasiada teoría desconocida aquí.

$\Bbb Z_5[X]/(X^2+2)$ es una extensión cuadrática del campo finito $\Bbb Z_5$ por lo que debe contener las raíces de cualquier polinomio cuadrático, incluyendo $b^2\pm b+1$ . Sabemos que no puede haber raíces repetidas porque $b^6-1$ y su derivado $b^5$ son polinomios coprimos. Por lo tanto, hay seis soluciones distintas.

Eso significa que $b^6 = 1$ tiene seis soluciones en $\Bbb Z_5[X]/(X^2+2)$ . Combinado con las dos soluciones de $\Bbb Z_5[X]/(X+1)$ Esto da como resultado $2\cdot 6 = 12$ soluciones en nuestro anillo original.

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Resolver $b^6 = 1$ : Vemos $b\pm 1$ en la factorización anterior, por lo que $b = \pm 1$ son dos soluciones. En cuanto a los otros dos factores, la ecuación cuadrática funciona aquí tan bien como lo hace para los números reales (sólo tenemos que recordar que estamos trabajando en un campo finito, por lo que la división y las raíces cuadradas funcionan un poco diferente): $$ b^2+b+1 = 0\implies b = \frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2} = 2\pm 3\sqrt{2} $$ Ahora sólo tenemos que encontrar $\sqrt2$ . Por definición, tenemos $$ X^2+2 = 0\\ X^2 = 3\\ 4X^2 = 2\\ (2X)^2 = 2 $$ así que $\sqrt2 = 2X$ (o, más exactamente, $\pm\sqrt2$ representa los mismos dos elementos que $\pm2X$ ; no hemos decidido la convención de la raíz cuadrada, y no necesitamos hacerlo). Así pues, tenemos $$ b = 2\pm3\cdot 2X = 2\pm X $$ Estas son las soluciones a $b^2+b+1 = 0$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $b^2-b+1 = 0$ tiene necesariamente las mismas soluciones con signo contrario: $b = 3\pm X$ .

Así que, volviendo a nuestro anillo original, vimos que las cuatro soluciones de antes, $\pm 1$ y $\pm(X^2+3)$ trabajo. El otro $8$ las soluciones vienen dadas por $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \Bbb Z_5[X]/(X+1)&\Bbb Z_5[X]/(X^2+2)&&\Bbb Z_5[X]/(f(X))\\ \hline 1&2+X&&X+2\\ 1&2-X&&X^2-X-1\\ 1&3+X&&3X^2+X-1\\ 1&3-X&&-X^2-X + 1\\\hline \end{array} $$ y sus negativos.