$P,$ Ideal principal puede $P^2 = P?$

Question

Supongamos que <span class="math-container">$P$</span> es un primo no trivial ideal en un anillo arbitrario. <span class="math-container">$P^2 = P?$</span> supongo que esto podría ser cierto para algún anillo, pero no puedo pensar en un ejemplo se puede...

Contexto: en un dominio de Dedekind, <span class="math-container">$P^2 \neq P$</span> como esto sería violar único facturización de ideales. Por esta razón me preguntaba si la igualdad de hecho podría llevar a cabo para algún anillo.

Answer 1

Aquí es un anillo conmutativo con un no-cero ideal maximal $M$ con $M^2=M$. Deje $k$ ser un campo y $R$ consisten en "polinomios con exponentes racionales" más de $k$, es decir, a cada elemento de a$R$ es una forma de $k$-combinación lineal de $x^r$ donde $r\in\Bbb Q$ e $r\ge0$. El mapa de $R\to k$tomar $a_0+\sum_{r>0}a_r x^r$ a $a_0$ es un surjective homomorphism con el núcleo $M$ generado por el $x^r$ para $r>0$. Cada uno de estos es un cuadrado de un elemento de $M$, lo $M^2=M$.

Por supuesto, esto $R$ no es Noetherian.