Pregunta de álgebra de nivel elemental

Question

Estoy tratando de resolver las siguientes tareas problema:

Si $a\neq b$, $a^3-b^3 = 19x^3$ e $a-b=x$, żcuál de las siguientes conclusiones es la correcta?

\begin{align} \text{(1) }& a = 3x \\ \text{(2) }& a = 3x \text{ or } a = -2x \\ \text{(3) }& a = -3x \text{ or } a = 2x \\ \text{(4) }& a = 3x \text{ or } a = 2x \end{align}

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Estoy recibiendo opción (4): $a = 3x$ o $a=2x$ como la respuesta, lo cual es incorrecto. La respuesta correcta es $a=3x$ o $a=-2x.$

Mi trabajo:-

$$ (a-b)^3 + 3ab(a-b)=19x^3$$ $$x^3 + 3ab(x) = 19x^3$$ $$ab=6x^2$$

Por tanto, comparando tenemos,

$$a * b = 3x * 2x \text{ or } a * b = 2x * 3x$$

Así, una puede ser $2x$ o $3x$.

¿Por qué mi respuesta incorrecta?

Answer 1

Uso de la diferencia de cubos. $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

$$\implies (a-b)(a^2+ab+b^2) = 19x^3$$

Set $\color{purple}{a-b = x}$.

$$\implies \color{purple}{x}(a^2+ab+b^2) = 19x^3 \implies a^2+ab+b^2 = 19x^2$$

Set $\color{blue}{b = a-x}$.

$$\implies a^2+a\color{blue}{(a-x)}+\color{blue}{(a-x)}^2 = 19x^2$$

Mueva $19x^2$ a la LHS, expandir y simplificar.

$$\implies a^2+a^2-ax+a^2-2ax+x^2-19x^2 = 0$$

$$\implies 3a^2-3ax-18x^2 = 0$$

$$\implies a^2-ax-6x^2 = 0$$

Factorizar el trinomio.

$$\implies (a-3x)(a+2x) = 0$$

Establecer el factor igual a $0$.

$$a = 3x \text{ or } a = -2x$$

Edit: Le he preguntado a donde su error. Su comparación parte no la correcta.

$$ab = 6x^2$$

No se puede simplemente saltar a conclusiones de lo $a$ e $b$ puede ser. Aquí, hacer la sustitución $\color{blue}{b = a-x}$.

$$a\color{blue}{(a-x)} = 6x^2$$

$$a^2-ax = 6x^2 \implies a^2-ax-6x^2 = 0$$

Esto lleva a la misma respuesta.

Answer 2

Estás perdiendo los signos en su división. En realidad también tiene las opciones

$$ ab = (-3x)(-2x)= 6x^2 \text{ or } ab = (-2x)(-3x) = 6x^2 $$

Para comprobar, usted necesita para conectar todos estos en su restricción original. Esto es fácil de hacer ya que usted sabe que $ b = a -x$. Con $a = 2x$ obtener $b=-x$, y si el enchufe esta en su segunda restricción que usted consigue

$$ (2x)^3 - (-x)^3 = 8x^3 + x^3 \neq 19x^3 $$

Yo voy a dejar a usted a prueba de $a=-2x$.

Answer 3

El trabajo que hizo hasta que llegó a ab = 6 x ^ 2 está todo bien pero cuando salió mal elegiste un = 3 x y un = x 2 para un = 3 b x = 2 x su todo bien pero para un = 2 x b = a x = x tan ab = 2 x ^ 2 en este caso usted está mal así que lo que resuelve este es =-2 x en general para que sean capaces de resolver dicha ecuación sin adivinar que sólo sustituir b por su valor: un (a-x) = 6 x ^ 2 una ^ 2-ax = 6 x ^ 2 un ^ x 2-ax-6 ^ 2 = 0 desea el valor de una para resolver esta ecuación para un : Delta = b ^ 2-4ac = x ^ 2 +24 x ^ 2 = 25 x ^ 2 entonces a = 3 x o =-2 x